О связи школьной геометрии и аналитической геометрии

[missa1]

Попытаюсь проанализировать слухи.

Слух 1. Очень многие говорят вещи наподобие "школьная геометрия в обычном виде никому, кроме учителей и чиновников в образовании, не нужна".
Слух 2. Аналитическая геометрия - простая штука. Ну, по крайней мере, в техническом институте.

Вопрос. Можно ли доказывать все теоремы не так, как это сделано, например, в учебнике Погорелова (1998 г.), а так, как в АГ? Проще ли это будет? Получится ли там просто ввести все понятия на основе аксиом? Целостно я это себе не представляю, но, по-моему, надо как-то объяснить, что аксиомы линейного пространства свободных векторов связаны с фиксированными векторами, и что всё это действительно соответствует обычным геометрическим отрезкам, прямым, плоскостям и т.д.

Слух 3 (дополнительный). Я тут подслушал, что ведь теорема косинусов (и, значит, Пифагора!) легко доказывается с помощью понятия скалярного произведения из АГ: пусть $c = a + b$, тогда
$|c|^2 =(c,c) = (a + b,a + b) = (a,a) + 2(a,b) + (b,b) = $
$= |a|^2 + 2|a||b|\cos(a,b)+ |b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos(-a,b)$.

Т.е., чтобы это доказательство действительно было доказательством, нужно, чтобы корректно были введены понятия:

вектор
свободный вектор
ЛПСВ
скалярное произведение 2 векторов
длина вектора
угол между векторами
косинус угла между векторами (может даже сначала нужно вводить косинус? а потом уже сам угол?)
связь введённого таким образом косинуса с обычным косинусом
и т.д.

Тут я целостно не представляю, как это всё сделать. Можно ли? И упростится ли школьная геометрия, если изначально и полностью её строить на основе вузовской АГ объёма технического института?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

missa1
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Вопросы преподавания»
Перенёс в более подходящий сейчас раздел

[Kras]

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

И упростится ли школьная геометрия, если изначально и полностью её строить на основе вузовской АГ

Т.е. вы предлагаете школьные занятия превратить в настоящий ад? Просто нет такой науки "аналитическая геометрия". Есть старый адовый маразм, который по не вполне ясным причинам до сих пор не могут убрать из обязательных курсов. Потому что все интересные факты легко доказываются, собственно, в курсе линейной алгебры, материал же АГ реально бесполезен.

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Аналитическая геометрия - простая штука. Ну, по крайней мере, в техническом институте.

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

строить на основе вузовской АГ объёма технического института?

Я действительно не понял мысль. Ну причем тут технические вузы? Что это за новая единица измерения? Большинству людей (в т. ч. школьного возраста) проблемы технарей реально до лампочки. То есть может оно кому-то где-то там пригодилось, но это ни разу не причина строить школьный курс на основе АГ.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Kras в сообщении #1020977 писал(а):

missa1 в сообщении #1020943

писал(а):
И упростится ли школьная геометрия, если изначально и полностью её строить на основе вузовской АГ
Т.е. вы предлагаете школьные занятия превратить в настоящий ад? Просто нет такой науки "аналитическая геометрия". Есть старый адовый маразм, который по не вполне ясным причинам до сих пор не могут убрать из обязательных курсов. Потому что все интересные факты легко доказываются, собственно, в курсе линейной алгебры, материал же АГ реально бесполезен.

Вот что бывает, если читать тифаретник! Жалко парня...

[missa1]

Цитата:

Потому что все интересные факты легко доказываются, собственно, в курсе линейной алгебры

Только она трудно представима наглядно. И как-либо вообще. У меня с этим были огромные проблемы.

АГ объёма технического вуза вот: http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl ... k&id=88668
АГ, по-видиму, математического факультета: http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl ... &id=123465


Я не читаю тифаретник, я тут это только что прочитал. Как и доказательство теоремы Пифагора.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

missa1 в сообщении #1020980 писал(а):

Я не читаю тифаретник, я тут это только что прочитал. Как и доказательство теоремы Пифагора.

Так я и не про вас писал, а про местного записного критикана, который "сам я Пастернака не читал, но сильно осуждаю, раз он Вербицкому не нравится".

[Munin]

Для тех, кто пользуется понятием "свободный вектор", действительно, выгода может быть и не видна.

[Kras]

missa1, ваше доказательство никоим образом не использует координаты. Это хорошо. Плохо только, что вы отнесли это к аналитической геометрии.
Кстати если в учебниках по АГ появляются какие-то аксиомы, то это только в виде исключения.

[Munin]

Kras в сообщении #1020977 писал(а):

Просто нет такой науки "аналитическая геометрия". Есть старый адовый маразм

Прикрутите фитилёк, юноша.

Не верится, что вы сразу поняли, что такое $k$-мерное линейное многообразие в $n$-мерном пространстве, не зная, что такое прямая и плоскость.

missa1 в сообщении #1020980 писал(а):

Только она трудно представима наглядно. И как-либо вообще. У меня с этим были огромные проблемы.

Да, именно аналитическая геометрия и служит этой цели: научить представлять наглядно алгебраические объекты, сначала на примере 2 и 3 измерений, чтобы потом совершить обобщение к $n$ измерениям.

-- 29.05.2015 12:00:06 --

Kras в сообщении #1020986 писал(а):

Кстати если в учебниках по АГ появляются какие-то аксиомы, то это только в виде исключения.

Перечислите учебники по аналитической геометрии, которые вы читали. Это требование.

[Oleg Zubelevich]

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Слух 1. Очень многие говорят вещи наподобие "школьная геометрия в обычном виде никому, кроме учителей и чиновников в образовании, не нужна".

нужна, потомуу, что развивает логическое мышление и воображение, и доставляет пример построенной с аксиоматики и законченной математической дисциплины

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Слух 2. Аналитическая геометрия - простая штука. Ну, по крайней мере, в техническом институте.

по моему ощущению, ангеом в среднем прощее классики

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Можно ли доказывать все теоремы не так, как это сделано, например, в учебнике Погорелова (1998 г.), а так, как в АГ?

можно, если правильно учить АГ, чего в технических вузах как правило не делается

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Проще ли это будет?

для одних задач -- да, для других -- нет

[Kras]

Munin в сообщении #1020987 писал(а):

Прикрутите фитилёк, юноша.

Что конкретно сделать?

Итак, мысль была, что нет такой науки "аналитическая геометрия". Хотите с этим спорить?

[Oleg Zubelevich]

Kras в сообщении #1020977 писал(а):

Потому что все интересные факты легко доказываются, собственно, в курсе линейной алгебры, материал же АГ реально бесполезен.

аналитическая геометрия это линейная алгебра в простраствах размерности 1,2,3. Если человек не умеет думать трехмерными образами, как его многомерью учить? А потом, есть всякие специальные вещи типа векторного произведения.

[missa1]

Munin в сообщении #1020984 писал(а):

Для тех, кто пользуется понятием "свободный вектор", действительно, выгода может быть и не видна.

Выгода в чём? Не видна кому? Вы меня словом "тех" подразумевали?

Kras в сообщении #1020986 писал(а):

missa1, ваше доказательство никоим образом не использует координаты. Это хорошо. Плохо только, что вы отнесли это к аналитической геометрии.

Ничего себе, а как же определять скалярное произведение без координат? В данном случае.

Kras в сообщении #1020986 писал(а):

Кстати если в учебниках по АГ появляются какие-то аксиомы, то это только в виде исключения.

Прошу прощения, так мой вопрос как раз в том и был, что я не знаю, как всё можно корректно там определить. И о необходимости совершения этого.

[missa1]

Oleg Zubelevich в сообщении #1020989 писал(а):

для одних задач -- да, для других -- нет

Для каких удобно?