Что такое дифференциал?

[olenellus]

Munin в сообщении #1019359 писал(а):

Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Разница примерно такая же, как между $\dfrac{\vec{a}}{b} = \dfrac{\vec{c}}{d}$ и $\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

[Munin]

Ну это только в "узкой интерпретации", а g______d уже согласился на "широкую".

С другой стороны, да, это очень ясно, как жаль, что я сам не додумался. Туплю нынче, видимо.

[arseniiv]

С той же или другой другой стороны, такое «псевдообращение» $\mathbf u^{-1} \equiv \mathbf u/u^2$ иногда полезно… (Очевидно, это самый маленький вектор, дающий в скалярном произведении с исходным единицу.)

[olenellus]

А теперь представьте, что скалярное произведение не определено...

[g______d]

Можно считать, что $dx$ -- это скалярная функция двух аргументов (точки на многообразии и касательного вектора). Тогда $(dx)^{-1}$ -- тоже скалярная функция тех же аргументов.

[arseniiv]

olenellus в сообщении #1019582 писал(а):

А теперь представьте, что скалярное произведение не определено...

Потому и написал «иногда».

[olenellus]

Сейчас доиграемся и придадим точный смысл выражению $\dfrac{df}{dx}$ как всамделешному отношению.

[arseniiv]

Так ведь придают же, и давно. Вроде, и в этой теме было.

[kp9r4d]

Ну не было же, ну. Кстати, один из самых высокооцененных вопросов на math.stackexchange.

[Munin]

arseniiv
Тут просто это уже далеко не первая тема на эту тему :-)
(Хорошо ещё, что они не совпадают с точностью до изоморфизма... хотя близки к этому...)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1019679 писал(а):

Тут просто это уже далеко не первая тема на эту тему

О да, это знаю! Даже писал в других и упоминал их наличие пару раз.

Munin в сообщении #1019679 писал(а):

(Хорошо ещё, что они не совпадают с точностью до изоморфизма... хотя близки к этому...)

Я бы выделил два класса: длинные с разнейшими описаниями и короткие со ссылками на длинные. Но модераторы портят классификацию объединением тем.

[Munin]

Я был бы рад третьему классу: где обсуждение не топчется на месте, а куда-то движется. Вот мне кажется, что в этой удалось чего-то добиться. А ссылки - чего ссылки? Их и скопировать можно. (Сижу и выразительно смотрю на arseniiv.)

[arseniiv]

Ну да, ссылки скопировать можно, если помнишь откуда, так что хорошо, что модераторы обычно помнят и просто прилепляют новую тему к тому, откуда могли планироваться эти ссылки.

[Padawan]

g______d в сообщении #1019591 писал(а):

Можно считать, что $dx$ -- это скалярная функция двух аргументов (точки на многообразии и касательного вектора). Тогда $(dx)^{-1}$ -- тоже скалярная функция тех же аргументов.

Именно. Поэтому $\frac{x}{dx}=\frac{y}{dy}$ это то же самое, что $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$. И $\frac{x}{dx}=\frac{1}{d(\ln x)}$. Тут важно то, что значения, которые принимает дифференциал скалярной функции, являются скалярами. Вот для дифференциалов отображения многообразий не могу представить, что может означать $\frac{1}{dy}$ потому, что вектора делить нельзя.

olenellus в сообщении #1019494 писал(а):

$\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

Хотя, может в какой-то физической задаче и такое может встретиться. И уже исходя из задачи, можно будет придать смысл такому выражению.

[upgrade]

olenellus в сообщении #1019494 писал(а):

Munin в сообщении #1019359 писал(а):

Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Разница примерно такая же, как между $\dfrac{\vec{a}}{b} = \dfrac{\vec{c}}{d}$ и $\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

это что же, $dx$ и $dy$ - это не просто числа, а что-то вроде векторов... а направление - вдоль осей?