Помогите взять интеграл.

[Gickle]

День добрый. Возникла необходимость взять интеграл следующего вида:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha\cdot \xi +\beta\cdot \eta) d\xi d\eta}{((\xi-x)^2+(\eta-y)^2+z^2)^{3/2}}$

В общем, что предпринималось:
1. Записал в виде действительной части от интеграла с экспонентой.
2. Далее сделал замену $(\xi - x) \to \xi, (\eta - y) \to \eta $ (я думаю, никого не смутит, что я новые переменные так же обозначил). Эти замены не изменят пределы, добавят лишь экспоненту за знаком интеграла, которая пока что слабо интересует.
3. В итоге дело сводится к повторному интегралу:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp[i\cdot(\alpha\cdot\xi + \beta\cdot\eta)] d\xi d\eta}{(\xi^2+\eta^2+z^2)^{3/2}}$

4. Первостепенной задачей для себя определил взять следующий интеграл:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp(i\cdot\alpha\cdot\xi) d\xi}{(\xi^2+\eta^2+z^2)^{3/2}}$

5. Тут я заметил, что это есть классический интеграл вида:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(i\alpha\xi)f(\xi) d\xi$

Тогда, если аналитическое продолжение $f(z)$ на верхней полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действительной оси, то интеграл есть просто $2\pi i \cdot \sum \operatorname{res}[\exp(i\alpha\xi)f(\xi)] $, где вычеты вычисляются в верхней полуплоскости.

И вот тут я застопорился. Потому что $f(z)$ вроде как функция-то многозначная получается. И единственная особая точка в верхней полуплоскости является, если я правильно понимаю, существенно особой. Я попытался в лоб вычислить вычет, просто разложив всё дело в ряд Лорана. Но, разумеется, у меня нецелая степень никуда не пропала.

Как я понимаю, по уму вообще надо было взять в качестве контура верхнюю полуокружность и обойти при этом единственную особую точку. Тогда у меня как раз получится сумма из шести интегралов, два из которых в пределе дадут то, что мне нужно, два просто уйдут, а ещё два будут представлять интегралы по разным берегам разреза в пределах от 0 до моей особой точки (и наоборот). И здесь я тоже уже как-то начинаю теряться немного.

В общем, вот. Есть мнение, что здесь всё делается в разы проще и элегантнее, но я что-то не могу понять как. Может, как-нибудь по-хитрому надо по параметрам там продифференцировать и получить ЗК (у меня такого придумать не получилось). Может, какую-нибудь замену остроумную надо сделать или ещё чего. Иными словами, хотелось бы узнать:

а) Есть ли какой-нибудь простой способ взятия интеграла?
б) Если да, то какой?
в) Что я делал в своём решении не так?
г) Как надо было делать правильно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[Otta]

Gickle
Wolframalfa на запрос о преобразовании Фурье по одной переменной функции $(x^2+y^2+a^2)^{-3/2}$ выдает модифицированную функцию Бесселя от специфического аргумента:

$$F_x\left[\frac{1}{(x^2+y^2+a^2)^{3/2}}\right](\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}|\omega|\frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}}K_1\left(\sqrt{a^2+y^2}|\omega|\right),$$

а по двум переменным считать отказывается наотрез. Может, что-то и можно с этим сделать, но как-то сомнительно. Во всяком случае, пока в голову ничего не приходит. Преобразования Фурье от модифицированных функций Бесселя (вообще говоря) известны, но не от композиции с чем-то там.

-- 24.05.2015, 17:48 --

Gickle в сообщении #1018947 писал(а):

И единственная особая точка в верхней полуплоскости является, если я правильно понимаю, существенно особой. Я попытался в лоб вычислить вычет, просто разложив всё дело в ряд Лорана.

К сожалению, она не существенно особая, она - точка ветвления. Поэтому рядов Лорана не получится, ряды Лорана - это для изолированных особых точек однозначного характера.

[Gickle]

Цитата:

Wolframalfa на запрос о преобразовании Фурье по одной переменной функции $(x^2+y^2+a^2)^{-3/2}$ выдает модифицированную функцию Бесселя от специфического аргумента

Но это, по сути, показывает, что выбранный мною изначально путь - крайне неудачный, поскольку следующим шагом тогда стало бы нахождение Фурье-образа полученного вами выражения, как я понимаю (дальше ведь надо ещё по другой переменной надо было бы интегрировать). А это ну уж точно совсем сомнительное дело. Проблему усугубляет ещё и то обстоятельство, что по условиям задачи запрещено пользоваться какими бы то ни было математическими пакетами. Всё, что называется, ручками надо делать.

Otta в сообщении #1019076 писал(а):

Gickle
К сожалению, она не существенно особая, она - точка ветвления. Поэтому рядов Лорана не получится, ряды Лорана - это для изолированных особых точек однозначного характера.

Угу, я, собственно говоря, это и хотел сказать, просто ошибся в терминологии.

[Otta]

Кстати, результат следующего преобразования Фурье вполне приличный и выражается в элементарных функциях (посмотрела в справочнике Бейтмен, Эрдейи), так что, вполне может статься, он действительно делается по-человечески.

А может, все проще, и исходная постановка задачи была другой?

[Gickle]

Otta в сообщении #1019094 писал(а):

Кстати, результат следующего преобразования Фурье вполне приличный и выражается в элементарных функциях (посмотрела в справочнике Бейтмен, Эрдейи), так что, вполне может статься, он действительно делается по-человечески.

Да, ответ должен получиться более чем простой. :) Задача учебная, ответ известен и он очень прост.

Цитата:

А может, все проще, и исходная постановка задачи была другой?

Вообще говоря, и да, и нет. То есть задача была следующая:

$ \Delta $u$ = 0, -\infty< x < +\infty, -\infty < y < +\infty, z > 0 $u$(x,y,0) = u_0 \cdot \cos(\alpha x + \beta y) $

То есть суть задача Дирихле для уравнения Пуассона (в данном случае даже Лапласа). Причём в задаче указано решать именно что методом потенциалов, поэтому вот так вот. Выражение для нахождения ответа (за исключением некоторого множителя) - как раз вышеприведённый интеграл (это 100% правильно). Так что да, решить по-другому можно было бы, но, увы, нельзя. Нужно брать интеграл.

[Someone]

Может быть, попробовать такой подход? Успеха не гарантирую, потому что не проверял.
1) Заменяем переменные по формулам $\xi=\tilde\xi+x$, $\eta=\tilde\eta+y$; $\cos((\alpha\tilde\xi+\beta\tilde\eta)+(\alpha x+\beta y))$ расписываем по формуле косинуса суммы и разбиваем интеграл на два. Интеграл с синусами равен нулю в силу нечётности.
2) Вводим новые переменные $u=\alpha\tilde\xi+\beta\tilde\eta$, $v=-\beta\tilde\xi+\alpha\tilde\eta$. Интеграл по $v$ вычисляется в элементарных функциях.

[Otta]

Someone в сообщении #1019106 писал(а):

Может быть, попробовать такой подход?

Да, так получится. Немного неожиданно, спасибо за доставленное удовольствие.

Правда, быстрее (имхо) будет сделать замену ортогональной, но не принципиально.

[Gickle]

Someone в сообщении #1019106 писал(а):

Может быть, попробовать такой подход?

Огромное спасибо. Сколько я уже бодаюсь с этой задачей, а тут такое элегантное решение проблемы. :)

Цитата:

Правда, быстрее (имхо) будет сделать замену ортогональной, но не принципиально.

А разве (u,v) не является ортогональной? Получается ведь отображение:

$ \xi = \frac{u \alpha - v \beta}{\alpha^2 + \beta^2}, \eta = \frac{u \beta + v \alpha}{\alpha^2 + \beta^2} $

Откуда:
$ \vec{r_u} = (\frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2};\frac{\beta}{\alpha^2 + \beta^2}), \vec{r_v} = (\frac{-\beta}{\alpha^2 + \beta^2};\frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2}) $
И вроде как система является ортогональной. Хотя, как вы заметили, это здесь совершенно не принципиально. :)

[Otta]

Эта - не ортогональная. Ну, неважно.

[Someone]

Gickle в сообщении #1019142 писал(а):

А разве (u,v) не является ортогональной?

Базисные векторы ортогональные, но не нормированные. Ортогональное преобразование получится, если написать $\xi=\frac{u\alpha-v\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}},\eta=\frac{u\beta+v\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$.