2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 02:14 
Заслуженный участник


29/12/14
504
День добрый. Возникла необходимость взять интеграл следующего вида:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha\cdot \xi +\beta\cdot \eta) d\xi d\eta}{((\xi-x)^2+(\eta-y)^2+z^2)^{3/2}}$

В общем, что предпринималось:
1. Записал в виде действительной части от интеграла с экспонентой.
2. Далее сделал замену $(\xi - x) \to \xi, (\eta - y) \to \eta $ (я думаю, никого не смутит, что я новые переменные так же обозначил). Эти замены не изменят пределы, добавят лишь экспоненту за знаком интеграла, которая пока что слабо интересует.
3. В итоге дело сводится к повторному интегралу:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp[i\cdot(\alpha\cdot\xi  + \beta\cdot\eta)] d\xi d\eta}{(\xi^2+\eta^2+z^2)^{3/2}}$

4. Первостепенной задачей для себя определил взять следующий интеграл:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\exp(i\cdot\alpha\cdot\xi) d\xi}{(\xi^2+\eta^2+z^2)^{3/2}}$

5. Тут я заметил, что это есть классический интеграл вида:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(i\alpha\xi)f(\xi) d\xi$

Тогда, если аналитическое продолжение $f(z)$ на верхней полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особых точек на действительной оси, то интеграл есть просто $2\pi i \cdot \sum \operatorname{res}[\exp(i\alpha\xi)f(\xi)] $, где вычеты вычисляются в верхней полуплоскости.

И вот тут я застопорился. Потому что $f(z)$ вроде как функция-то многозначная получается. И единственная особая точка в верхней полуплоскости является, если я правильно понимаю, существенно особой. Я попытался в лоб вычислить вычет, просто разложив всё дело в ряд Лорана. Но, разумеется, у меня нецелая степень никуда не пропала.

Как я понимаю, по уму вообще надо было взять в качестве контура верхнюю полуокружность и обойти при этом единственную особую точку. Тогда у меня как раз получится сумма из шести интегралов, два из которых в пределе дадут то, что мне нужно, два просто уйдут, а ещё два будут представлять интегралы по разным берегам разреза в пределах от 0 до моей особой точки (и наоборот). И здесь я тоже уже как-то начинаю теряться немного.

В общем, вот. Есть мнение, что здесь всё делается в разы проще и элегантнее, но я что-то не могу понять как. Может, как-нибудь по-хитрому надо по параметрам там продифференцировать и получить ЗК (у меня такого придумать не получилось). Может, какую-нибудь замену остроумную надо сделать или ещё чего. Иными словами, хотелось бы узнать:

а) Есть ли какой-нибудь простой способ взятия интеграла?
б) Если да, то какой?
в) Что я делал в своём решении не так?
г) Как надо было делать правильно?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.05.2015, 02:21 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.05.2015, 11:13 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 15:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Gickle
Wolframalfa на запрос о преобразовании Фурье по одной переменной функции $(x^2+y^2+a^2)^{-3/2}$ выдает модифицированную функцию Бесселя от специфического аргумента:
$$F_x\left[\frac{1}{(x^2+y^2+a^2)^{3/2}}\right](\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}|\omega|\frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}}K_1\left(\sqrt{a^2+y^2}|\omega|\right),$$
а по двум переменным считать отказывается наотрез. Может, что-то и можно с этим сделать, но как-то сомнительно. Во всяком случае, пока в голову ничего не приходит. Преобразования Фурье от модифицированных функций Бесселя (вообще говоря) известны, но не от композиции с чем-то там.

-- 24.05.2015, 17:48 --

Gickle в сообщении #1018947 писал(а):
И единственная особая точка в верхней полуплоскости является, если я правильно понимаю, существенно особой. Я попытался в лоб вычислить вычет, просто разложив всё дело в ряд Лорана.

К сожалению, она не существенно особая, она - точка ветвления. Поэтому рядов Лорана не получится, ряды Лорана - это для изолированных особых точек однозначного характера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 16:55 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Цитата:
Wolframalfa на запрос о преобразовании Фурье по одной переменной функции $(x^2+y^2+a^2)^{-3/2}$ выдает модифицированную функцию Бесселя от специфического аргумента

Но это, по сути, показывает, что выбранный мною изначально путь - крайне неудачный, поскольку следующим шагом тогда стало бы нахождение Фурье-образа полученного вами выражения, как я понимаю (дальше ведь надо ещё по другой переменной надо было бы интегрировать). А это ну уж точно совсем сомнительное дело. Проблему усугубляет ещё и то обстоятельство, что по условиям задачи запрещено пользоваться какими бы то ни было математическими пакетами. Всё, что называется, ручками надо делать.
Otta в сообщении #1019076 писал(а):
Gickle
К сожалению, она не существенно особая, она - точка ветвления. Поэтому рядов Лорана не получится, ряды Лорана - это для изолированных особых точек однозначного характера.

Угу, я, собственно говоря, это и хотел сказать, просто ошибся в терминологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 17:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Кстати, результат следующего преобразования Фурье вполне приличный и выражается в элементарных функциях (посмотрела в справочнике Бейтмен, Эрдейи), так что, вполне может статься, он действительно делается по-человечески.

А может, все проще, и исходная постановка задачи была другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 17:30 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Otta в сообщении #1019094 писал(а):
Кстати, результат следующего преобразования Фурье вполне приличный и выражается в элементарных функциях (посмотрела в справочнике Бейтмен, Эрдейи), так что, вполне может статься, он действительно делается по-человечески.

Да, ответ должен получиться более чем простой. :) Задача учебная, ответ известен и он очень прост.

Цитата:
А может, все проще, и исходная постановка задачи была другой?

Вообще говоря, и да, и нет. То есть задача была следующая:

$ \Delta $u$ = 0, -\infty< x < +\infty, -\infty < y < +\infty, z > 0 

$u$(x,y,0) = u_0 \cdot \cos(\alpha x + \beta y) $

То есть суть задача Дирихле для уравнения Пуассона (в данном случае даже Лапласа). Причём в задаче указано решать именно что методом потенциалов, поэтому вот так вот. Выражение для нахождения ответа (за исключением некоторого множителя) - как раз вышеприведённый интеграл (это 100% правильно). Так что да, решить по-другому можно было бы, но, увы, нельзя. Нужно брать интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Может быть, попробовать такой подход? Успеха не гарантирую, потому что не проверял.
1) Заменяем переменные по формулам $\xi=\tilde\xi+x$, $\eta=\tilde\eta+y$; $\cos((\alpha\tilde\xi+\beta\tilde\eta)+(\alpha x+\beta y))$ расписываем по формуле косинуса суммы и разбиваем интеграл на два. Интеграл с синусами равен нулю в силу нечётности.
2) Вводим новые переменные $u=\alpha\tilde\xi+\beta\tilde\eta$, $v=-\beta\tilde\xi+\alpha\tilde\eta$. Интеграл по $v$ вычисляется в элементарных функциях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 18:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Someone в сообщении #1019106 писал(а):
Может быть, попробовать такой подход?

Да, так получится. Немного неожиданно, спасибо за доставленное удовольствие. :D

Правда, быстрее (имхо) будет сделать замену ортогональной, но не принципиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 20:29 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Someone в сообщении #1019106 писал(а):
Может быть, попробовать такой подход?

Огромное спасибо. Сколько я уже бодаюсь с этой задачей, а тут такое элегантное решение проблемы. :)

Цитата:
Правда, быстрее (имхо) будет сделать замену ортогональной, но не принципиально.

А разве (u,v) не является ортогональной? Получается ведь отображение:

$ 
\xi = \frac{u \alpha - v \beta}{\alpha^2 + \beta^2},  
\eta = \frac{u \beta + v \alpha}{\alpha^2 + \beta^2}
$

Откуда:
$
\vec{r_u} = (\frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2};\frac{\beta}{\alpha^2 + \beta^2}),  
\vec{r_v} = (\frac{-\beta}{\alpha^2 + \beta^2};\frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2})
$
И вроде как система является ортогональной. Хотя, как вы заметили, это здесь совершенно не принципиально. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение24.05.2015, 21:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Эта - не ортогональная. Ну, неважно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл.
Сообщение25.05.2015, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Gickle в сообщении #1019142 писал(а):
А разве (u,v) не является ортогональной?
Базисные векторы ортогональные, но не нормированные. Ортогональное преобразование получится, если написать $\xi=\frac{u\alpha-v\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}},\eta=\frac{u\beta+v\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group