2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 19:36 


07/04/15
244
Дана система векторов: $a_1=(2,2,7,-1); a_2=(3,-1,2,4); a_3=(1,1,3,1)$. Нужно дополнить до базиса.
Я рассуждал так: канонический базис понятно какой. Нужно из него выбрать вектор, который не принадлежит линейной оболочке этой системы. Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.

Но они все получились не нулевые! :shock: :shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 19:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну и выбирайте любой. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
2old в сообщении #1018197 писал(а):
Но они все получились не нулевые!

А если бы я сгенерировал случайные координаты для 100 четвёртых векторов и все эти 100 векторов оказались бы дополняющими до базиса, Вас бы это удивило больше или меньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 19:47 


07/04/15
244
arseniiv
Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из $(1,0,0,0)\dots(0,0,0,1)$ не должны ей принадлежать? А тут выходят все не принадлежат.

-- 21.05.2015, 20:48 --

grizzly
Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 19:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
2old в сообщении #1018204 писал(а):
Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из $(1,0,0,0)\dots(0,0,0,1)$ не должны ей принадлежать?
А почему вы так считаете?

2old в сообщении #1018204 писал(а):
Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1
Если генерировать аккуратно, этот шанс будет независимо от количества векторов нулевой. :wink: (Ну, если только векторное пространство не конечно…)

-- Чт май 21, 2015 21:56:39 --

Кстати, посмотрите на трёхмерную аналогичную задачу (тут можно подключить глаза). Вот есть плоскость, натянутая на два каких-то вектора. Ничто не мешает трём не лежащим в ней векторам оказываться базисом пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
2old
У Вас произошёл сбой в интуитивном понимании простых вещей и это важно срочно исправить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 20:17 
Заслуженный участник


14/03/10
867
2old в сообщении #1018197 писал(а):
Дана система векторов: $a_1=(2,2,7,-1); a_2=(3,-1,2,4); a_3=(1,1,3,1)$. Нужно дополнить до базиса.
:twisted: Выбирайте $a_4=(\pi,\pi^2,\pi^3,\pi^4)$ - не ошибётесь. (Если, конечно, Вашу систему можно вообще дополнить до базиса.) :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение21.05.2015, 20:21 


07/04/15
244
Да, как-то я запутался. Но сейчас порисовал, вроде понял. Пространства они больше, чем я думал)))
Надеюсь, порешаю задачки на подпространства и интуиция улучшится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение22.05.2015, 05:34 


08/05/08
583
2old в сообщении #1018197 писал(а):
Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.


Извините, но это же решение подбором. А если бы в условии было требование, чтобы $a_4$ был перпендикулярен всем предыдущим $a_i$, сможете придумать алгоритм нахождения $a_4$ ? Не получится ли так, что по этому алгоритму действий надо в среднем меньше, чем то количество, что вы сделали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение22.05.2015, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
ET в сообщении #1018278 писал(а):
А если бы в условии было требование, чтобы $a_4$ был перпендикулярен всем предыдущим $a_i$, сможете придумать алгоритм нахождения $a_4$ ?

Откуда дровишки Евклидова структура в "обычном" линейном пространстве? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение22.05.2015, 08:15 


08/05/08
583
Brukvalub
Вы про перпендикулярность-ортогональность? Ну легко же вводится в данном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение22.05.2015, 11:03 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Ну, некое эстетство, конечно, требовать решения непременно в терминах задачи, без введения новых понятий. С другой стороны, отвечать, к примеру, пятикласснику на вопрос о площади прямоугольного треугольника, рисуя оси вдоль катетов и вводя (тоже не слишком-то сложное) понятие определённого интеграла — перебор-с.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнить до базиса
Сообщение22.05.2015, 15:57 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков
Давайте тогда найдём компромисс. Составим систему $Ax=0$, где каждая $i$-я строка матрицы $A$ — это $a_i^T$. Пространство её решений будет прямым дополнением $\operatorname{span}\{a_i\}$ до всего пространства. А про скалярное произведение ничего не будем говорить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group