Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.
Извините, но это же решение подбором. А если бы в условии было требование, чтобы

был перпендикулярен всем предыдущим

, сможете придумать алгоритм нахождения

? Не получится ли так, что по этому алгоритму действий надо в среднем меньше, чем то количество, что вы сделали?