Дополнить до базиса

[2old]

Дана система векторов: $a_1=(2,2,7,-1); a_2=(3,-1,2,4); a_3=(1,1,3,1)$. Нужно дополнить до базиса.
Я рассуждал так: канонический базис понятно какой. Нужно из него выбрать вектор, который не принадлежит линейной оболочке этой системы. Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.

Но они все получились не нулевые!

[arseniiv]

Ну и выбирайте любой.

[grizzly]

2old в сообщении #1018197 писал(а):

Но они все получились не нулевые!

А если бы я сгенерировал случайные координаты для 100 четвёртых векторов и все эти 100 векторов оказались бы дополняющими до базиса, Вас бы это удивило больше или меньше?

[2old]

arseniiv
Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из $(1,0,0,0)\dots(0,0,0,1)$ не должны ей принадлежать? А тут выходят все не принадлежат.

-- 21.05.2015, 20:48 --

grizzly
Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1

[arseniiv]

2old в сообщении #1018204 писал(а):

Так если у исходной системы ранг 3, разве какие-то три из $(1,0,0,0)\dots(0,0,0,1)$ не должны ей принадлежать?

А почему вы так считаете?

2old в сообщении #1018204 писал(а):

Меньше, так как есть шанс что все они из одного подпространства размерности 1

Если генерировать аккуратно, этот шанс будет независимо от количества векторов нулевой. (Ну, если только векторное пространство не конечно…)

-- Чт май 21, 2015 21:56:39 --

Кстати, посмотрите на трёхмерную аналогичную задачу (тут можно подключить глаза). Вот есть плоскость, натянутая на два каких-то вектора. Ничто не мешает трём не лежащим в ней векторам оказываться базисом пространства.

[grizzly]

2old
У Вас произошёл сбой в интуитивном понимании простых вещей и это важно срочно исправить.

[patzer2097]

2old в сообщении #1018197 писал(а):

Дана система векторов: $a_1=(2,2,7,-1); a_2=(3,-1,2,4); a_3=(1,1,3,1)$. Нужно дополнить до базиса.

Выбирайте $a_4=(\pi,\pi^2,\pi^3,\pi^4)$ - не ошибётесь. (Если, конечно, Вашу систему можно вообще дополнить до базиса.)

[2old]

Да, как-то я запутался. Но сейчас порисовал, вроде понял. Пространства они больше, чем я думал)))
Надеюсь, порешаю задачки на подпространства и интуиция улучшится.

[ET]

2old в сообщении #1018197 писал(а):

Составим матрицу, где четвертым столбцом будет подставлять вектор из канонического базиса. Как только определитель не нулевой, значит матрица полного ранга, готов.

Извините, но это же решение подбором. А если бы в условии было требование, чтобы $a_4$ был перпендикулярен всем предыдущим $a_i$, сможете придумать алгоритм нахождения $a_4$ ? Не получится ли так, что по этому алгоритму действий надо в среднем меньше, чем то количество, что вы сделали?

[Brukvalub]

ET в сообщении #1018278 писал(а):

А если бы в условии было требование, чтобы $a_4$ был перпендикулярен всем предыдущим $a_i$, сможете придумать алгоритм нахождения $a_4$ ?

Откуда дровишки Евклидова структура в "обычном" линейном пространстве?

[ET]

Brukvalub
Вы про перпендикулярность-ортогональность? Ну легко же вводится в данном случае.

[iifat]

Ну, некое эстетство, конечно, требовать решения непременно в терминах задачи, без введения новых понятий. С другой стороны, отвечать, к примеру, пятикласснику на вопрос о площади прямоугольного треугольника, рисуя оси вдоль катетов и вводя (тоже не слишком-то сложное) понятие определённого интеграла — перебор-с.

[svv]

Давайте тогда найдём компромисс. Составим систему $Ax=0$, где каждая $i$-я строка матрицы $A$ — это $a_i^T$. Пространство её решений будет прямым дополнением $\operatorname{span}\{a_i\}$ до всего пространства. А про скалярное произведение ничего не будем говорить.