2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:17 


06/12/13
275
Пытаюсь разобраться с гомоморфизмом Гуревича $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$ Как строится это отображение? Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну... Возьмите определение сингулярного $1$-цикла. Возьмите определение петли и попробуйте каким-нибудь образом построить по этой петле 1-цикл. Дальше, докажите, что если петля стягиваема, то цикл является границей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:30 


06/12/13
275
Я вообще-то читаю Фостера Римановы поверхности, он сингулярные гомологии не определяет. Он работает с 1-цепями, т.е. целочисленными линейными комбинациями путей. Мой вопрос отталкивается от следующего: он пишет
Цитата:
Две замкнутые гомотопные кривые, в частности, гомологичны. Поэтому имеет место гомоморфизм групп $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$
Я хотела бы знать как он строится в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
OlgaD в сообщении #1018318 писал(а):
Я хотела бы знать как он строится в явном виде.


Любая петля является 1-цепью. Просто возьмите определение цепи в разделе 20.4 и возьмите в качестве единственного слагаемого эту петлю. Потом проверьте, что эта цепь на самом деле является циклом. Таким образом, есть отображение из множества петель в множество циклов. Дальше надо проверить, что оно корректно определено на классах эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:46 


06/12/13
275
Петля является циклом по определению граничного оператора, разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
OlgaD в сообщении #1018325 писал(а):
Вы хотели сказать 1-циклом?


И 1-циклом тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:53 


06/12/13
275
Если я правильно понимаю, то петля $c$ - это замкнутый путь $c,$ он же 1-цепь $1\cdot c$ и 1-цикл по определению граничного оператора в том же разделе 20.4. Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
OlgaD в сообщении #1018327 писал(а):
Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$


Ну как, берём любой представитель класса $a\in \pi_1(X)$, строим по нему представитель класса $b\in H_1(X)$, дальше доказываем, что класс $b$ зависит только от класса $a$, а не от конкретного представителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:08 


06/12/13
275
g______d в сообщении #1018330 писал(а):
строим по нему представитель класса
Это как? :oops: $b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
OlgaD в сообщении #1018336 писал(а):
$b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?


Да. Ну потом надо доказать, что из гомотопной эквивалентности следует гомологическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:30 


06/12/13
275
Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают. А почему нет инъективности гомоморфизма Гуревича? Какие два элемента из $\pi_1(X)$ дают один и тот же класс $b\in H_1(X)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
OlgaD в сообщении #1018344 писал(а):
Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают.


Не следует. Для этого нужна теорема де Рама (которая там тоже доказывается), но это из пушки по воробьям.

Нужно взять петлю, гомотопную константе, и руками построить 2-цепь, границей которой является цикл, соответствующий этой петле. Строить нужно, пользуясь определением гомотопности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 13:10 


06/12/13
275
Я поняла, что меня больше смущает в этом гомоморфизме. Фундаментальная группа - это классы замкнутых путей. А при определении 1-цикла Фостер пишет "в частности, замкнутый путь - это 1-цикл". Тогда, конечно, возникает вопрос: а как "выглядит" цикл, который не является замкнутым? И все-таки какие два класса $a,a'\in\pi_1(X)$ могут определять один класс гомологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
(Если я правильно понял, что Вас нитересует)
Представьте себе замкнутую линию, опоясывающую "крендель" между отверстиями.
Такая линия будет гомологична, но не гомотопна точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 14:44 


06/12/13
275
но это же тоже замкнутая линия...хотя если смотреть на развертку

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group