Гомоморфизм Гуревича при n=1

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018366 писал(а):

Тогда, конечно, возникает вопрос: а как "выглядит" цикл, который не является замкнутым?

В смысле, не является замкнутой петлей? Например, формальная сумма нескольких замкнутых петель.

OlgaD в сообщении #1018366 писал(а):

И все-таки какие два класса $a,a'\in\pi_1(X)$ могут определять один класс гомологии?

Ну если продвинуться немного дальше, то $H_1(X)=\pi_1(x)/[\pi_1(X),\pi_1(X)]$, т. е. фактор по коммутанту. И гомоморфизм Гуревича — это просто отображение факторизации.

Любая нетривиальная петля, лежащая в коммутанте, будет гомологична нулю, но не гомотопна нулю. Например, возьмите два гвоздя и намотайте на них веревку так, чтобы общее число обходов каждого гвоздя было равно нулю, но веревку было не сдернуть, не разрывая ее.

"Не сдернуть" — значит, не гомотопна нулю. А гомологичность, если грубо, — это когда разрешается точками самопересечения разбивать петлю на две петли (если ориентация правильная).

[OlgaD]

g______d в сообщении #1018547 писал(а):

чтобы общее число обходов каждого гвоздя было равно нулю

это как? меняя направление накручивания с положительной на отрицательную?

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018710 писал(а):

меняя направление накручивания с положительной на отрицательную?

Да, как на первой картинке: http://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_contour

[OlgaD]

Понятно. Большое всем спасибо