2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:17 
Пытаюсь разобраться с гомоморфизмом Гуревича $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$ Как строится это отображение? Помогите разобраться, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:22 
Аватара пользователя
Ну... Возьмите определение сингулярного $1$-цикла. Возьмите определение петли и попробуйте каким-нибудь образом построить по этой петле 1-цикл. Дальше, докажите, что если петля стягиваема, то цикл является границей.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:30 
Я вообще-то читаю Фостера Римановы поверхности, он сингулярные гомологии не определяет. Он работает с 1-цепями, т.е. целочисленными линейными комбинациями путей. Мой вопрос отталкивается от следующего: он пишет
Цитата:
Две замкнутые гомотопные кривые, в частности, гомологичны. Поэтому имеет место гомоморфизм групп $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$
Я хотела бы знать как он строится в явном виде.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:40 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #1018318 писал(а):
Я хотела бы знать как он строится в явном виде.


Любая петля является 1-цепью. Просто возьмите определение цепи в разделе 20.4 и возьмите в качестве единственного слагаемого эту петлю. Потом проверьте, что эта цепь на самом деле является циклом. Таким образом, есть отображение из множества петель в множество циклов. Дальше надо проверить, что оно корректно определено на классах эквивалентности.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:46 
Петля является циклом по определению граничного оператора, разве не так?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:48 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #1018325 писал(а):
Вы хотели сказать 1-циклом?


И 1-циклом тоже.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 10:53 
Если я правильно понимаю, то петля $c$ - это замкнутый путь $c,$ он же 1-цепь $1\cdot c$ и 1-цикл по определению граничного оператора в том же разделе 20.4. Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:02 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #1018327 писал(а):
Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$


Ну как, берём любой представитель класса $a\in \pi_1(X)$, строим по нему представитель класса $b\in H_1(X)$, дальше доказываем, что класс $b$ зависит только от класса $a$, а не от конкретного представителя.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:08 
g______d в сообщении #1018330 писал(а):
строим по нему представитель класса
Это как? :oops: $b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:24 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #1018336 писал(а):
$b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?


Да. Ну потом надо доказать, что из гомотопной эквивалентности следует гомологическая.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:30 
Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают. А почему нет инъективности гомоморфизма Гуревича? Какие два элемента из $\pi_1(X)$ дают один и тот же класс $b\in H_1(X)?$

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 11:36 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #1018344 писал(а):
Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают.


Не следует. Для этого нужна теорема де Рама (которая там тоже доказывается), но это из пушки по воробьям.

Нужно взять петлю, гомотопную константе, и руками построить 2-цепь, границей которой является цикл, соответствующий этой петле. Строить нужно, пользуясь определением гомотопности.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 13:10 
Я поняла, что меня больше смущает в этом гомоморфизме. Фундаментальная группа - это классы замкнутых путей. А при определении 1-цикла Фостер пишет "в частности, замкнутый путь - это 1-цикл". Тогда, конечно, возникает вопрос: а как "выглядит" цикл, который не является замкнутым? И все-таки какие два класса $a,a'\in\pi_1(X)$ могут определять один класс гомологии?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 13:35 
Аватара пользователя
(Если я правильно понял, что Вас нитересует)
Представьте себе замкнутую линию, опоясывающую "крендель" между отверстиями.
Такая линия будет гомологична, но не гомотопна точке.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм Гуревича при n=1
Сообщение22.05.2015, 14:44 
но это же тоже замкнутая линия...хотя если смотреть на развертку

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group