Гомоморфизм Гуревича при n=1

[OlgaD]

Пытаюсь разобраться с гомоморфизмом Гуревича $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$ Как строится это отображение? Помогите разобраться, пожалуйста.

[g______d]

Ну... Возьмите определение сингулярного $1$-цикла. Возьмите определение петли и попробуйте каким-нибудь образом построить по этой петле 1-цикл. Дальше, докажите, что если петля стягиваема, то цикл является границей.

[OlgaD]

Я вообще-то читаю Фостера Римановы поверхности, он сингулярные гомологии не определяет. Он работает с 1-цепями, т.е. целочисленными линейными комбинациями путей. Мой вопрос отталкивается от следующего: он пишет

Цитата:

Две замкнутые гомотопные кривые, в частности, гомологичны. Поэтому имеет место гомоморфизм групп $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X).$

Я хотела бы знать как он строится в явном виде.

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018318 писал(а):

Я хотела бы знать как он строится в явном виде.

Любая петля является 1-цепью. Просто возьмите определение цепи в разделе 20.4 и возьмите в качестве единственного слагаемого эту петлю. Потом проверьте, что эта цепь на самом деле является циклом. Таким образом, есть отображение из множества петель в множество циклов. Дальше надо проверить, что оно корректно определено на классах эквивалентности.

[OlgaD]

Петля является циклом по определению граничного оператора, разве не так?

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018325 писал(а):

Вы хотели сказать 1-циклом?

И 1-циклом тоже.

[OlgaD]

Если я правильно понимаю, то петля $c$ - это замкнутый путь $c,$ он же 1-цепь $1\cdot c$ и 1-цикл по определению граничного оператора в том же разделе 20.4. Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018327 писал(а):

Думаю, мне было бы проще, если бы мне объяснили процедуру построения гомоморфизма как сопоставления классу $a\in\pi_1(X)$ некоторого класса $b\in H_1(X).$

Ну как, берём любой представитель класса $a\in \pi_1(X)$, строим по нему представитель класса $b\in H_1(X)$, дальше доказываем, что класс $b$ зависит только от класса $a$, а не от конкретного представителя.

[OlgaD]

g______d в сообщении #1018330 писал(а):

строим по нему представитель класса

Это как? $b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018336 писал(а):

$b$ - класс эквивалентности $a,$ но уже берется отношение не гомотопной эквивалентности, а гомологической?

Да. Ну потом надо доказать, что из гомотопной эквивалентности следует гомологическая.

[OlgaD]

Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают. А почему нет инъективности гомоморфизма Гуревича? Какие два элемента из $\pi_1(X)$ дают один и тот же класс $b\in H_1(X)?$

[g______d]

OlgaD в сообщении #1018344 писал(а):

Это следует из теоремы, которую Фостер доказывает выше. Она утверждает, что для любой замкнутой 1-формы интегралы по гомотопным путям совпадают.

Не следует. Для этого нужна теорема де Рама (которая там тоже доказывается), но это из пушки по воробьям.

Нужно взять петлю, гомотопную константе, и руками построить 2-цепь, границей которой является цикл, соответствующий этой петле. Строить нужно, пользуясь определением гомотопности.

[OlgaD]

Я поняла, что меня больше смущает в этом гомоморфизме. Фундаментальная группа - это классы замкнутых путей. А при определении 1-цикла Фостер пишет "в частности, замкнутый путь - это 1-цикл". Тогда, конечно, возникает вопрос: а как "выглядит" цикл, который не является замкнутым? И все-таки какие два класса $a,a'\in\pi_1(X)$ могут определять один класс гомологии?

[пианист]

(Если я правильно понял, что Вас нитересует)
Представьте себе замкнутую линию, опоясывающую "крендель" между отверстиями.
Такая линия будет гомологична, но не гомотопна точке.

[OlgaD]

но это же тоже замкнутая линия...хотя если смотреть на развертку