2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение07.05.2015, 18:22 


07/05/15
7
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, правильно ли так делать чтоб получить численные значения компонент тензора Римана?
Я взяла из 2-ого тома Чандрасекара "Математическая теория черных дыр" формулы для ненулевых компонент тензора Римана (случай метрики Керра)
и напрямую подставляла значения
например, $c=3\cdot 10^{8}$, $G=6.67\cdot 10^{-11}$, $M=1.98\cdot 10^{30}$, $a=0.61$, $\theta =\frac{2\pi }{3}$
$r=\sqrt{-a^{2}+G^{2}\frac{M^{2}}{c^{4}}}+G\frac{M}{c^{2}}$ это равенство, определяющее гравитационный радиус
также из Чандрасекара взяла выражения для: $\Delta =r^{2}-\frac{2GMr}{c^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}$,
$\rho =\sqrt{r^{2}+a^{2}\frac{\cos^{2}\theta }{c^{2}}}$,
$\Sigma =\sqrt{\left(r^{2}+a^{2} \right)^{2}-a^{2}\delta\Delta }$,
$\delta =\sin^{2}\theta$
почему- то для некоторых компонент получаются значения с мнимой единицей
например:
$R_{1213}=-\left(aM\frac{\cos \theta }{\rho ^{6}}\right)\left(3r^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta \right)\left(3a\frac{\Delta ^{\frac{1}{2}}}{\Sigma ^{2}} \right)\left(r^{2}+a^{2} \right)\sin\theta$


если все подставить, получается значение $6.4178933073466435i\cdot 10^{9}$

получается мнимая кривизна что ли???
но ведь этого не может быть

может, есть какие-то хитрости в вычислении или я что-то важное упустила.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.05.2015, 18:30 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- следует хоть немного тщательнее относиться к соблюдению правил пунктуации.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.05.2015, 13:56 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение09.05.2015, 14:43 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Во-первых, я надеюсь, что вы понимаете, что таким образом вы считаете кривизну не абы где, а именно на горизонте.

Если вы посмотрите внимательно на ваши формулы, вы поймете, что мнимая единица может появиться ровно в одном месте - в $\Delta^\frac{1}{2}$. Значит нужно понять как так получилось, что $\Delta$ оказалась отрицательной.
Проблему найти легко. Вы работаете в системе единиц, в которой $c$ является размерной величиной, а значит исходя из формулы
$\Delta =r^{2}-\frac{2GMr}{c^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}$
$a$ должно быть другой размерности в сравнении с $r$ и $\frac{2GM}{c^{2}}$. В то же время в формуле для гравитационного радиуса
$r=\sqrt{-a^{2}+G^{2}\frac{M^{2}}{c^{4}}}+G\frac{M}{c^{2}}$
их размерности совпадают. Значит в зависимости от определения $a$, которое вам больше нравится, одна из этих формул является неверной. Т.е. если взять $a=\frac{J}{Mc}$, то на самом деле
$\Delta =r^{2}-\frac{2GMr}{c^{2}}+a^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение12.05.2015, 13:27 


07/05/15
7
Здравствуйте.
про горизонт - ,конечно, понимаю. мне на нем и надо посчитать

большое спасибо за указание ошибки. я ее исправила
только теперь получается так:
если $a=0.01$, то $\Delta =1,699\cdot 10^{-10}$
соответственно, если брать корень из $\Delta$, получается нормальное значение без мнимой единицы
но вот, если $a=0.81$, тогда $\Delta =-1,186\cdot 10^{-9}$
и тогда корень из $\Delta$ снова становится с мнимой единицей
(считала по исправленной формуле: $\Delta =r^{2}-\frac{2GMr}{c^{2}}+a^{2}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение12.05.2015, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
maugly в сообщении #1013832 писал(а):
только теперь получается так

На "горизонте"?? А почему у Вас там $\Delta$ вообще отлична от 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение12.05.2015, 16:20 


07/05/15
7
вот и я не понимаю.
выражение для гравитационного радиуса получается с помощью приравнивания $\Delta$ нулю и выбора положительного значения. проделала вычисления самостоятельно.
получила выражение $r_{g}=\frac{GM}{c^{2}}+\sqrt{\frac{G^{2}M^{2}}{c^{4}}-a^{2}}$
(по размерности все перепроверила - все хорошо, получаются метры)
но при подставлении $r_{g}$ в $\Delta$ и всех указанных в верхнем посту числовых значениях
при $a=0.81$ получается $\Delta =-1.186\cdot 10^{-9}$
это я в маткаде формулы пишу
может, из-за того, что разброс степеней большой и подстановки туда-сюда накапливается ошибка вычислений и поэтому такое странное значение для $\Delta$ получается....

попробовала убрать выражение для $\Delta$, просто написав $\Delta =0$ и оставив выражение для гравитационного радиуса
получилось, те компоненты, которые были с мнимыми единицами, обратились в нуль

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение12.05.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
maugly в сообщении #1013890 писал(а):
накапливается ошибка вычислений

Великовата ошибка всё же (хотя похоже на неё).
Возможно было бы лучше сразу перейти к "геометрическим единицам" ($G=c=1$) - масса Солнца, например, будет 1477 метров.
(кстати, а чего у Вас $a$ такое маленькое?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение12.05.2015, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Кстати. В метрике Керра $\Delta$ входит в $g_{ij}$ и $g^{ij}$ в целой степени. $R_{ijkl}$ выражается через компоненты метрического тензора и их производные. Откуда вообще в $R_{1213}$ может появиться $\Delta^{\frac 1 2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение13.05.2015, 12:06 


07/05/15
7
смотрите формулу для $R_{1213}$ 2-ой том Чандрасекара "Математическая теория черных дыр". Раздел: Метрика Керра. (глава 6, параграф 54)
запись:
$$-R_{3002}=R_{1213}=-\left(\frac{aM\cos\theta }{\rho ^{6}} \right)\left(3r^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta \right)\left(\frac{3a\Delta ^{\frac{1}{2}}}{\Sigma ^{2}} \right)\left(r^{2}+a^{2} \right)\sin\theta$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение13.05.2015, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12440
Удивительная тема. Я долго смотреть на неё не могу. Хочется энергичные слова говорить...

Нет, в самом деле. Какой антураж! Здесь можно встретить такие фамилии как Риман, такие страшные слова как тензор, а по сути всё обсуждение сводится к проблемам подстановки пары чисел в аналитически заданную функцию. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение13.05.2015, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
maugly
Я верю, что в книге так написано, но вопрос остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение13.05.2015, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Понял. $R_{1213}$ — это не $R_{r\theta r\varphi}$ (которая равна нулю), а компонента в специальным образом выбранной тетраде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые значения компонент тензора Римана (метрика Керра)
Сообщение18.05.2015, 11:43 


07/05/15
7
спасибо тем, кто, не кичась своими знаниями, задавал вопросы. благодаря им я нашла свою ошибку и обратила внимание на то, что сразу не заметила.
еще раз: СПАСИБО

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group