Поверхностный интеграл

[svv]

ex-math, Ваш способ мне нравится, я тоже им пользуюсь. Но мне кажется, разница невелика. У Вас получается

$$\int\limits_G \begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\[0.8ex]\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial u}\\[0.8ex]\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix}du\;dv =\int\limits_G \left(a_x \frac{D(y,z)}{D(u,v)}+a_y\frac{D(z,x)}{D(u,v)}+a_z\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right) du\;dv$$

У нас получается то же самое при замене переменных (в нашей задаче — при переходе к $\rho, \varphi$). Например, в первом слагаемом

$$a_x dy\wedge dz=a_x \left(\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\right) \wedge \left(\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv\right) = a_x \frac{D(y,z)}{D(u,v)} du\wedge dv$$

Вдобавок появляется возможность в каждом слагаемом сделать свою удобную замену.

[ex-math]

svv
Но "моим способом" короче и, главное, исключается путаница в знаках, потому что векторное произведение -- это нормаль и можно, посмотрев на нее в какой-нибудь точке, выбрать внешнюю.