Циркуляция

[Dema709]

Найти циркуляцию векторного поля непосредственно и по теореме Стокса.
Векторное поле: $A=yi-x^2j+xk$
Контур задан уравнениями: $x^2+z^2=4$ и $z=y+2$

Насколько я понимаю, контур - эллипс.
Для вычисления по теореме Стокса необходимо найти ротор:
$\operatorname{rot}(A)=(0,-1,2x+1)$

Нормаль к плоскости находится через градиент:
$u=z-y-2$
$\operatorname{grad}(u)=-j+k$
$n=\operatorname{grad}(u)/|\operatorname{grad}(u)|=(0,-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$$

Как можно выразить $d \sigma$ - элемент поверхности?

[provincialka]

А какую поверхность вы натянули на этот контур? Вот для нее и ищите элемент поверхности.

Вообще-то гораздо удобнее использовать поверхностный интеграл второго рода.

[svv]

В роторе проверьте знаки.

[svv]

Dema709 в сообщении #868179 писал(а):

Как можно выразить $d \sigma$ - элемент поверхности?

Пусть поверхность задана в параметрическом виде: $\mathbf r(u, v)$. (В нашем случае в качестве параметров удобно выбрать $u=z$ и $v=x$). Тогда векторный элемент площади
$d\mathbf S=\mathbf r'_u\times\mathbf r'_v\;du\;dv$
С другой стороны,
$d\mathbf S=\mathbf n\;dS$
Отсюда можно найти $dS=|d\mathbf S|$ и $\mathbf n=\frac{d\mathbf S}{dS}$. Но это шаг в сторону. Формула с $du\;dv$ ближе к цели.

(Оффтоп)

Наша циркуляция — это интеграл по контуру от формы
$\alpha=y\;dx-x^2\;dy+x\;dz$
По теореме Стокса он равен интегралу по натянутой на контур поверхности от формы
$d\alpha=-(2x+1)dx\wedge dy-dz\wedge dx$
На поверхности $z=y+2$ имеем $dy=dz$, поэтому ограничение $d\alpha$ на поверхность равно $2x\;dz\wedge dx$.
Остается проинтегрировать последнюю форму по кругу $x^2+z^2=4$, но в силу симметрии ...
Надеюсь, provincialka имела в виду примерно это.

[provincialka]

(Оффтоп)

svv в сообщении #868312 писал(а):

Надеюсь, provincialka имела в виду примерно это.

Конечно. Только не все знают про внешнее произведение и внешние формы. Поэтому формулу Стокса пишут с интегралом.

[svv]

(Оффтоп)

Я думал, что все или почти все. На математических факультетах их примерно на втором курсе изучают?

[Dema709]

По теореме Стокса выходит:
$\operatorname{rot}(A)=(0,-1,-2x-1)$ (Нашёл ошибку)
$d\sigma=-\sqrt{2}dxdy$
Ц$=\int\limits_{\sigma} (\operatorname{rot}(A),n) d\sigma=2\iint\limits_{D}xdxdy=0$,
где $D$ ограничено $x^2+z^2=4$.

Непосредственно:
Ц$=\int\limits_{L} (A,\tau) dl$,
где $A$ и $\tau$ - векторы.
$\tau$ - единичный вектор касательной к кривой.

Теперь не могу понять, как найти $\tau$.
Через параметризацию? Не до конца понял. Или же можно сделать как-нибудь проще?

P.S. Я всё ещё на первом, поэтому про "внешнее произведение и внешние формы" пока ни слухом, ни духом.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Dema709
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[svv]

Как я находил циркуляцию с помощью теоремы Стокса (без форм, в своих обозначениях).
$\int\limits_{\sigma}\operatorname{rot}\mathbf A\cdot d\mathbf S=\int\limits_{\sigma}\operatorname{rot}\mathbf A\cdot (\mathbf r'_z\times\mathbf r'_x)\;dz\;dx=\int\limits_{\sigma}(\operatorname{rot}\mathbf A,\mathbf r'_z,\mathbf r'_x)\;dz\;dx$
В последнем интеграле смешанное произведение.
$\operatorname{rot}\mathbf A=(0,-1,-2x-1)$
$\mathbf r(z,x)=(x,z-2,z)$
$\mathbf r'_z=(0,1,1)$
$\mathbf r'_x=(1,0,0)$
$(\operatorname{rot}\mathbf A,\mathbf r'_z,\mathbf r'_x)=\begin{vmatrix}0&-1&-2x-1\\0&1&1\\1&0&0\end{vmatrix} =2x$
Можно было находить $\mathbf n$ и $dS$, в каждую из этих величин входят корни, которые потом всё равно сократятся.

Когда Вы ищете циркуляцию непосредственно, Вы тоже можете находить единичный касательный вектор $\boldsymbol{\tau}$ отдельно и элемент длины $ds$ отдельно. Вероятно, при этом появлятся злые корни, но потом «напрасно добытая информация всё равно сократится».
Пусть наш контур $\gamma$ задается параметрически: $t\mapsto\mathbf r(t)$, где параметр $t\in[t_a,t_b]$. Тогда циркуляция равна
$\int\limits_{\gamma}\mathbf A\cdot d\mathbf r=\int\limits_{t_a}^{t_b}\mathbf A\cdot \mathbf r'_t\; dt$
Хотя $d\mathbf r=\boldsymbol{\tau}\;ds$, значение интеграла в левой части не зависит от способа параметризации контура. Стало быть, не нужно стремиться к тому, чтобы касательный вектор $\mathbf r'_t$ был единичным, а параметр $t$ был натуральным, то есть имел смысл длины дуги. И тогда это просто.

[Dema709]

Хоть и надо "напрасно добывать информацию", таково задание.
Что в данном случае обозначает $d\mathbf r$?
Под $A\cdot d\mathbf r$ подразумевается скалярное произведение?
Как можно задать контур через $t$?
Можно поподробнее?

У меня на ум только приходит задать
$x=2\cos(t)$
$z=2\sin(t)$
Но что делать с этим дальше, куда девать $y$ и как составить $r_t$ - ума не приложу.

[svv]

Понятно.
$d\mathbf r$ — дифференциал радиус-вектора, то же, что здесь $d\mathbf l$.
Да, точка — скалярное произведение, здесь обозначение упоминается.
Полужирным обозначены векторы.
С параметризацией Вы на правильном пути. Вам осталось только добавить $y=z-2$:
$\mathbf r(t)=(x(t), y(t), z(t))=2(\cos t, \sin t-1, \sin t)$
$\mathbf r'_t=\frac{d\mathbf r(t)}{dt}=(x'(t), y'(t), z'(t))=2(-\sin t, \cos t, \cos t)$
$\mathbf A(t)=(y(t),-x^2(t),x(t))=2(\sin t-1, -2\cos^2 t, \cos t)$
$\left(\mathbf A, \frac{d\mathbf r}{dt}\right)=4(\sin t-\sin^2 t-2\cos^3 t+\cos^2 t)$
При интегрировании выбросьте отсюда те слагаемые, вклад от которых равен нулю в силу какой-либо их симметрии.

[Dema709]

Спасибо большое, без вас бы не разобрался.

[svv]

Пожалуйста, рад был помочь.

Вычисление циркуляции с помощью интегрирования формы по замкнутому контуру (без теоремы Стокса).
$y\;dx-x^2\;dy+x\;dz$
Так как на контуре $dz=dy$, первое и третье слагаемые дают $y\;dx+x\;dy=d(xy)$, т.е. полный дифференциал, он не дает вклада в интеграл.
Остается второе слагаемое, перепишем его как $-x^2\;dz$. Очевидно, интеграл от него равен нулю, так как $\left.x^2\;dz\right|_{(x,z)}+\left.x^2\;dz\right|_{(-x,z)}=0$ на окружности $x^2+z^2=4$ (форма не зависит от $y$, можно рассматривать проекцию контура на $Oxz$).

Собственно, всё это и без форм понятно.