2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 14:12 


20/10/12
235
Добрый день, уважаемые участники форума!
Помогите с решением
$ \iint _{S} (x^3 + 3z^2)dydz + y^2dzdx + z^3dxdy$,
здесь $S: x^2 + y^2 = z^2, 0 < z < 2$ задает внешнюю поверхность конуса.
По Остроградскому получил ответ $ 24 \pi$.
Но нужно еще провести вычисления напрямую, не используя формулу. Вот тут я завис.
Пытаюсь разбить интеграл на три части $\iint _{S} (x^3 + 3z^2)dydz + \iint _{S} y^2dzdx + z^3dxdy$
и обсчитывать каждую часть отдельно ( там еще нужно делить на две поверхности - боковую и верхнюю часть).
На первом же интеграле прихожу к нездоровым сложностям.
(по боковой поверхности x выражаю через y, z и прихожу к довольно размашистому двойному интегралу, что-то мне подсказывает, что так не стоит решать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
По плоской части интеграл считается просто (остается только последнее слагаемое)

На конусе, наверное, надо все-таки перейти к координатам $(x,y)$ (не забывая, что сторона --- нижняя)

В силу $x^2+y^2=z^2$ получаем, что $dz = \dfrac{xdx+ydy}{z}$. Тогда $dydz=\frac xzdydx =-\frac xzdxdy$. И так далее..

-- 17.05.2015, 14:32 --

А потом -- к полярным координатам (или даже сразу к ним!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 14:46 


20/10/12
235
provincialka,
а откуда после $dz = L(dx, dy)$ у вас выражение для $dydz$ сразу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
По правилам внешнего произведения (а под интегралом стоит именно оно!). Имеем $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$, откуда, в частности, следует, что $dx\wedge dx = 0$.
Но если вам эта техника не знакома, можете использовать якобианы В каждом из трех (вернее, в двух первых) слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 15:02 


20/10/12
235
provincialka
итого пришли к поверхностному
$\iint (z^3 - x(x^3+3z^2)/z - y^3/z) dxdy$

теперь подстановка $z = \sqrt{x^2+y^2}$ и область $x^2+y^2<4$

(и еще интеграл от крышки от$ z^3$ он у меня посчитался $ 64 \pi / 5$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ага! И полярные координаты, наверное... В них $dxdy = rdrd\varphi$ (порядок соответствует верхней стороне поверхности) и $z=r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 15:34 


20/10/12
235
что-то у меня с Остроградским не согласуется
1)интеграл по поверхности 'крышка' - все нули кроме по $z^3$
этот $64\pi /5$
2)интеграл по боковой
после замены
$\iint {(x^2+y^2)^{3/2} - x^4/\sqrt{x^2+y^2} - 3 \sqrt{x^2+y^2} x - y^3/z} dxdy$
по окружности $x^2+y^2 < 4 $
первое слагаемое дает $64\pi/5$, второе $24\pi/5$, последние два - нули в силу симметрии.
не получить$ 24 \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 19:06 


20/10/12
235
правда, если у кого есть время - пожалуйста посмотрите - ответ не сошелся с тем, что получен формулой Остроградского. ход решения же есть!
я уже третий раз проверяю.
четвертый, уже даже якобианами перешел, вместо внешнего произведения

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 19:50 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Как у Вас получился такой интеграл по крышке? На крышке $z^3=8$ — константа, $dx\wedge dy$ — это просто $dS$, то есть получается восемь площадей круглой крышечки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 19:58 


20/10/12
235
svv, понятно, я - валенок. $32 \pi$, хм
тогда выходит нужно отнимать интеграл по конусу
что бы $24 \pi$ вышло
внешняя сторона для тела - внутренняя для поверхности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 20:13 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
shukshin в сообщении #1016534 писал(а):
внешняя сторона для тела - внутренняя для поверхности?
Да нет, я бы сказал, что внешности совпадают. Может, я не понял вопроса. Загляните в оффтоп.

(Оффтоп)

Изображение
Ваше тело — это такое пожарное ведёрко, прикрытое крышкой. Если в него налить воду, она будет касаться поверхности с внутренней стороны. А внешняя сторона соприкасается с воздухом. И Вы касаетесь внешней стороны поверхности, когда держите ведро руками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 20:57 


20/10/12
235
я мучительно пытаюсь согласовать результаты решения для этого интеграла разными способами. по формуле Остроградского вышло $24 \pi$, здесь у крышки $32 \pi$ и у боковой $8 \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 20:59 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
То есть у Вас только знак интеграла по боковой поверхности не сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В данном случае важно не то, что сторона поверхности "внутренняя" или "внешняя". Тем более, что для незамкнутой поверхности это вообще не определено!
Важно, верхняя сторона или нижняя. Так вот, внешняя сторона "ведра" является нижней. Поэтому интеграл по при переходе к $dxdy$ надо брать с минусом

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностный интеграл
Сообщение17.05.2015, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А разве не проще считать поверхностные интегралы второго рода, параметризовав поверхность как $\mathbf {r}(u,v)$, где $(u,v)\in G $, и тогда
$$
\int_S (\mathbf {a},\mathbf {n})dS=\int_G (\mathbf {a}, [\mathbf {r}'_u,\mathbf {r}'_v])dudv?
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group