Топологическая структура

[Sicker]

VanD
Мне кажется, вы не в том смысле поняли слово локальное, имеется ввиду не бесконечная малая область, а область конечной площади, достаточно малая, чтобы иметь простую топологию или иной параметр, который может оказаться сложным при глобальном рассмотрении всего объекта.
Я честно не знаю как математики выкручиваются из-за такой абсолютной неоднозначности смысла слова локальный

[VanD]

Sicker в сообщении #1016137 писал(а):

Мне кажется, вы не в том смысле поняли

Да, похоже. Может не конкретно это, но я согласен, что не так понял вопрос).

[svv]

Geen в сообщении #1016129 писал(а):

а "гладкое ненулевое" тензорное поле на сфере задать можно?

А тензорное поле можно. Метрический тензор, например.

[Sicker]

Так чему же равна эйлерова характеристика плоскости?

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1016304 писал(а):

Так чему же равна эйлерова характеристика плоскости?

Единице, попробуйте доказать это.

[Munin]

А вот я и сам уже заинтересовался. У меня есть мысль, но подожду подсказок от Brukvalub.

Теорема Гаусса-Бонне неприменима: плоскость не компакт.

[Brukvalub]

Подсчет Эйлеровой характеристики плоскости проведен, например, в этой брошюре.

[Утундрий]

Двойка минус вершина...

[Munin]

Первая мысль: 0, конечно. А, не, т. Гаусса-Бонне не работает.
Вторая мысль: 2, конечно, потому что плоскость - это сфера. А, не, наверное, не сфера.

Третья мысль: возьмём куб, растянем его и удалим одну грань. Получим часть плоскости. $\chi=1.$
Четвёртая мысль: подглядим, чего там с диском. 1.
Пятая мысль: можно замостить плоскость паркетом, и посчитать $\chi$ как для графа. Но лень.
На этом этапе бросил всё, и поверил на слово Brukvalub-у.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1016373 писал(а):

На этом этапе бросил всё, и поверил на слово Brukvalub-у.

Зачем мне верить? Я же дал ссылку на популярную брошюру, где все строго расписано!

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1016348 писал(а):

Подсчет Эйлеровой характеристики плоскости проведен, например, в этой брошюре.

Альт. ссылка: http://www.math.ru/lib/book/plm/v58.djvu (это не ссылка на файл, её надо открыть в браузере, и там будет ссылка на файл)
А то twirpx закрылся, сволочь.

-- 17.05.2015 13:12:58 --

Brukvalub в сообщении #1016378 писал(а):

Зачем мне верить? Я же дал ссылку на популярную брошюру, где все строго расписано!

Да, но она большая, и читать её долго. Там в начале приведено вычисление $\chi$ при разбиении прямыми, и это просто. А вот доказательство, что при любом другом разбиении получится то же число - я так понимаю, этому посвящена вся остальная брошюра? Тогда я предпочту не читать, а поверить на слово (вам или автору - это уже не важно).

[Sicker]

А плоскость не гомеоморфна кругу? Те у нее граница как бы бесконечная, поэтому эйлерова характеристика единица.
PS. Теорему Гаусса-Бонне можно обобщить и для многообразий с краем, если учитывать геодезическую кривизну границы

[Munin]

Окей, давайте ищите кривизну границы на бесконечности...

[Sicker]

Munin
Ну дык, два пи же

[INGELRII]

Моя мысль: плоскость - то же, что и сфера без одной точки. То есть то же, что и сфера без диска. То есть $2 - 1$.