Задача о шаре, падающем на плоскость.

[dimagoog]

Шар вертикально падает на неподвижную плоскость с высоты $h$ и многократно отскакивает.
Коэффициент восстановления $k$ меньше 1.
$ V_2=k \cdot V_1,k < 1 $, где $V_2$ - скорость после отскока, $V_1$ - до.
Кроме того, на шар действует линейное демпфирующее усилие. Требуется найти время остановки шара.

Получается, что из-за демпфирования дифуры при движении шара вверх и вниз разные, отличаются знаком перед демпфирующим слагаемым.
Понятно, что для того чтобы связать их нужно воспользоваться данными о коэффициенте восстановления.

Но не понимаю, как это сделать. Как записать единую математическую модель, связывающую многократные падения/подъемы шарика и скачкообразное изменение величины скорости при отскоке.
Можно было бы сделать численно, но отсутствие конкретных чисел в задаче не особо к этому располагает.

Из того, что нашел в литературе - встречаются либо совсем простой вариант задачи, без демпфирования, либо наоборот, только рассмотрение демпфирования, при этом отдельно на двух участках полета: вверх и вниз, без объединения их в одну мат. модель.

Полученное уравнение при движении шара вниз (Ось $X$ направлена от пластины вверх, координата 0 - поверхность пластины)
$ m \cdot g - \beta \cdot \dot{x}=m \ddot{x} $
Для движения вверх
$ m \cdot g + \beta \cdot \dot{x}=m \ddot{x} $

Спасибо.

[svv]

dimagoog в сообщении #1012792 писал(а):

Шар вертикально падает на неподвижную плоскость с высоты h и многократно отскакивает. Коэффициент восстановления меньше 1.

Если кинетическая энергия шара при движении вниз непосредственно перед касанием равна $T$, то непосредственно после отрыва $kT$, причем $k<1$. Правильно?

dimagoog в сообщении #1012792 писал(а):

Кроме того, на шар действует линейное демпфирующее усилие.

А что это значит?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[dimagoog]

svv в сообщении #1012801 писал(а):

dimagoog в сообщении #1012792 писал(а):

Шар вертикально падает на неподвижную плоскость с высоты h и многократно отскакивает. Коэффициент восстановления меньше 1.

Если кинетическая энергия шара при движении вниз непосредственно перед касанием равна $T$, то непосредственно после отрыва $kT$, причем $k<1$. Правильно?

dimagoog в сообщении #1012792 писал(а):

Кроме того, на шар действует линейное демпфирующее усилие.

А что это значит?

В оригинале имеется в виду отношение скоростей до и после контакта с поверхностью, но по факту, конечно, можно и кин. энергию.

Линейное демпфирование я понял как наличие силы, направленной противоположно скорости, равной $\beta\cdot\dot{x}$

[svv]

Я понял, никаких возражений, будем считать, что коэффициент относится к скоростям.

dimagoog в сообщении #1012792 писал(а):

Полученное уравнение при движении шара вниз (Ось $X$ направлена от пластины вверх, координата 0 - поверхность пластины)
$ m \cdot g - \beta \cdot \dot{x}=m \ddot{x}$
Для движения вверх
$ m \cdot g + \beta \cdot \dot{x}=m \ddot{x}$

1) У Вас $g<0$ ? Лучше поставьте перед $g$ знак «минус», считая $g=9.81\frac{\text{м}}{\text{с}^2}>0$
2) При движении вниз $\dot{x}<0$, и сила $-\beta\dot{x}$ направлена вверх, против движения. Но при движении вверх $\dot{x}>0$, и сила $+ \beta\dot{x}$ всё равно направлена вверх, т.е. уже по ходу движения?
Если Ваша сила демпфирования подобна силе сопротивления среды, $F=-\beta \dot x$, нет необходимости рассматривать отдельно случаи движения в разных направлениях, сила меняет знак автоматически благодаря $\dot x$. Правильным в обоих случаях является первое уравнение.

[dimagoog]

Да , перед $g$ «минус» конечно нужен.

То есть можно в принципе убрать из рассмотрения плоскость как таковую, оставив только уравнение
$-m \cdot g - \beta \cdot \dot{x} = m\ddot{x}$
и условие, что при $x=0, V_2=k \cdot V_1$.

[svv]

Да.
Кстати, в физматлитературе нечасто применяют точку для обозначения умножения чисел. Её тоже можно не писать. Итак:
$m\ddot{x}+\beta\dot{x}=-mg$

[dimagoog]

Тогда правильно ли я понимаю, что удобно продлить полет на половину "периода" назад, то есть начинать рассматривать задачу как задачу о шаре, брошенном вверх с некой начальной скоростью $V_{init}$.
Затем, решается дифур:
(1) $m\ddot{x}+\beta\dot{x}=-mg$
(2) $\ddot{x}+b\dot{x}=-g, b=\frac{\beta}{m}$
(3) $\dot{x}+bx=-gt+C_1$, где так как при $t=0,x=0 \Rightarrow C_1=V_{init} $
(4) $\dot{x}+bx=-gt+V_{init}$
(5) $x+btx=-\frac{gt^2}{2}+V_{init}t+C_2,C_2=0$
(6) $x+btx=-\frac{gt^2}{2}+V_{init}t$

Затем, подставляя $x=0$ находятся два решения:
$t_1=0$ для начального момента и
$t_2=\frac{2V_{init}}{g}$ для момента возвращения на поверхность.

Подставляя в (4) и (6) $x=h,\dot{x}=0$:
$bh=-gt_h+V_{init} \Rightarrow V_{init}=bh+gt_h$
$h+bt_hh=-\frac{gt_h^2}{2}+V_{init}t_h$

Тогда
$t_h=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
$V_{init}=bh+\sqrt{2gh}$
и
$t_2=\frac{2bh}{g}+2\sqrt{\frac{2h}{g}}$.
Подставляя в (4) $t_2=\frac{2V_{init}}{g}$ оказывается, что скорость перед контактом равняется $-V_{init}$, что в сумме с тем, что $t_2=\frac{2V_{init}}{g}$
означает, что время каждого последующего скачка в $k$ раз отличается от предыдущего.

Проссумировав времена всех скачков, вычитается $t_h$ и это и будет ответом.

[ewert]

dimagoog в сообщении #1012985 писал(а):

(4) $\dot{x}+bx=-gt+V_{init}$
(5) $x+btx=-\frac{gt^2}{2}+V_{init}t+C_2,C_2=0$

Так дифуры не решают, даже первого порядка.

[dimagoog]

$x(t)=-\frac{gt}{b}+\frac{C_1e^{-bt}}{b}+C_2$

Соотношение между $C_1$ и $C_2$ можно вытащить из $x_{t=0}=0 \Rightarrow \frac{C_1}{b}+C_2=0$
Кроме того,
$\dot{x}(t)=-\frac{g}{b}-C_1e^{-bt}$
тогда, зная, что $\dot{x}_{x=h}=0$

$h=-\frac{gt_h}{b}+\frac{C_1e^{-bt_h}}{b}+C_2$

$0=-\frac{g}{b}-C_1e^{-bt_h}$

Дальше можно конечно подставить второе в первое и получить

$h=-\frac{gt_h}{b}-\frac{g}{b^2}+C_2$

Но все равно не особо понятно, как найти $C_1, C_2, t_h$

[svv]

Прежде чем находить произвольные постоянные, поясните, пожалуйста, чего Вы хотите от решения этого уравнения.

Понятно, что детальное описание одного прыжка не нужно, разве что для отыскания интересующих связей между какими-то величинами... но какими именно?

[dimagoog]

Соседние прыжки связаны условием на величину скорости, я планировал выразить время одного пряжка через скорость в начале этого прыжка. Плюс найти величину скорости в конце прыжка. Это позволяет найти время любого прыжка.
В идеале составленная сумму времен прыжков могла бы иметь возможность приближенного или точного вычисления.

[ewert]

svv в сообщении #1013262 писал(а):

Понятно, что детальное описание одного прыжка не нужно

Так а как не нужно, если время прыжка получится трансцедентным. Тут уж суммируй, не сумируй..

[svv]

Ну Вы хоть фразу дочитайте.