Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.

[h0x0d9]

Добрый вечер.

Задача 44.
Назовем дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (a, b, c, d - целые положительные) "соседними", если их разность $\frac{ad - bc}{bd}$ имеет числитель $\pm{1}$, т.е. если $ad-bc=\pm{1}$
3. Докажите, что в этом случае никакая дробь $\frac{e}{f}$ с натуральным e и f, у которой $f < b+d$, не находится между $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$

Пытался доказать от противного, но выходит какая-то ерунда

[iifat]

Погуглите «ряд Фарея». Например, вот это.

[nnosipov]

Можно рассуждать так. Пусть

$$ \frac{a}{b}<\frac{e}{f}<\frac{c}{d}. $$

Тогда $af<be$ и $cf>de$. Превратим эти неравенства в равенства:

$$ be-af=x, \quad -de+cf=y, \eqno(*) $$

где $x$ и $y$ --- некоторые целые положительные числа. Теперь посмотрите на $(*)$ как на систему уравнений с неизвестными $e$ и $f$. Затем найдите $f$ (то неизвестное, которое нас интересует).

[RIP]

topic40643.html

[nnosipov]

Да, так несколько короче, но смысл, по-моему, тот же.