2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.
Сообщение05.05.2015, 15:20 
Аватара пользователя
Добрый вечер.

Задача 44.
Назовем дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (a, b, c, d - целые положительные) "соседними", если их разность $\frac{ad - bc}{bd}$ имеет числитель $\pm{1}$, т.е. если $ad-bc=\pm{1}$
3. Докажите, что в этом случае никакая дробь $\frac{e}{f}$ с натуральным e и f, у которой $f < b+d$, не находится между $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$

Пытался доказать от противного, но выходит какая-то ерунда

 
 
 
 Re: Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.
Сообщение05.05.2015, 15:34 
Погуглите «ряд Фарея». Например, вот это.

 
 
 
 Re: Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.
Сообщение05.05.2015, 15:35 
Можно рассуждать так. Пусть
$$
\frac{a}{b}<\frac{e}{f}<\frac{c}{d}.
$$
Тогда $af<be$ и $cf>de$. Превратим эти неравенства в равенства:
$$
be-af=x, \quad -de+cf=y, \eqno(*)
$$
где $x$ и $y$ --- некоторые целые положительные числа. Теперь посмотрите на $(*)$ как на систему уравнений с неизвестными $e$ и $f$. Затем найдите $f$ (то неизвестное, которое нас интересует).

 
 
 
 Re: Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.
Сообщение05.05.2015, 15:58 
Аватара пользователя
topic40643.html

 
 
 
 Re: Задача про соседние дроби. Алгебра. Гельфанд. Шень.
Сообщение05.05.2015, 16:06 
Да, так несколько короче, но смысл, по-моему, тот же.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group