Скрещивающиеся прямые

[INGELRII]

У меня еще была идея для вообще произвольных прямых и треугольника построить итерационный процесс, где бы строились треугольники и на каждом шаге углы бы стремились к нужным. Только потом пришла та идея с параметризацией, и эту я забросил.

Интересно, можно ли тут чего добиться.

[grizzly]

INGELRII
Сам подход может быть вполне интересным, но конкретно для данной задачи вряд ли оказался бы перспективным. Во-первых, при неудачном выборе начальной позиции и "направления" итераций мы можем столкнуться с ситуацией, когда итерационный процесс сходится к треугольнику, далёкому от нужного; во-вторых, не исключена ситуация, в которой итерации уведут нас в направлении к бесконечно удалённым точкам, бесконечно приближая, но не достигая нужного решения. Возможны и другие приколы.

Так что это направление решения лично для меня было бы более интересно в плане понаблюдать, как решающий сможет преодолевать эти трудности

[INGELRII]

Еще одна трудность в копилку: так как решений бесконечно много, трудно будет обеспечить сходимость к некоторому конкретному. Да, так себе идея.

[Munin]

INGELRII в сообщении #1009489 писал(а):

У меня еще была идея для вообще произвольных прямых и треугольника построить итерационный процесс, где бы строились треугольники и на каждом шаге углы бы стремились к нужным.

Проблема с итерационным процессом в том, что он может сходиться к точке, не лежащей в допустимой области. Так что увы, для доказательства он не годится - ничего сам по себе не доказывает.

[svv]

grizzly
Вы поставили вопрос и ответили на него сами раньше, чем я успел что-то придумать. Но, по крайней мере, я пытался, честное слово.

[Skeptic]

Собрал свои сообщения о решении поставленной задачи и дополнил их геометрическими комментариями.

Skeptic в сообщении #1008864 писал(а):

Проведём прямую, пересекающую скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и $c$ в точках $A$, $B$ и $C$. Для определённости, считаем точку $B$ внутренней. Через отрезок $AC$ и прямую $b$ проведём плоскость. Любой треугольник, построенный основании $AC$ с вершиной на прямой $b$ будет располагаться и на прямых $a$, $b$ и $c$. Одним из таких треугольников может быть прямоугольный треугольник.
Для прямоугольных треугольников задача решена.

Справа внизу показана плоскость, образуемая отрезком $AC$ и прямой $b$, с построением на ней прямоугольного треугольника.

Skeptic в сообщении #1009205 писал(а):

Всегда можно провести плоскость, на которой проекции прямых будут представлены прямыми, пересекающихся в одной точке. На этих проекциях можно построить любой треугольник.

Справа вверху показано проведение плоскости, на которой проекции прямых пересекаются о одной точке. Построение на этой плоскости заданного треугольника в вершинами на проекциях прямых не представляет трудности.

(Оффтоп)

Где в моих рассуждениях " невежество в учебном разделе"?

[grizzly]

svv, спасибо! Но если бы не Evgenjy, Вы бы точно ответили раньше меня

(Оффтоп)

Вообще, я от этой темы получил редчайшее удовольствие -- настолько контрастными были ощущение первоначального непонимания от теперешнего состояния "просветления". Я дней 10 стремился обходить эту тему стороной -- настолько тёмным был мрак непонимания. Но каждый приносил в тему что-то своё и я пытался это понять. И мрак постепенно рассеялся, а страх исчез. Я впитал, насколько сумел, понимание каждого и на этой базе сформировал своё. И чувствую себя сейчас настоящим победителем -- ни кого-то из участников форума (мне это второстепенно), а вот этого самого мрака. И даже если в моём теперешнем понимании есть какие-то пятна -- ничего страшного -- эти пятна "белые" и с ними уже понятно, что делать.

-- 30.04.2015, 18:50 --

Skeptic
В первой части Вашего сообщения Вы в лучшем случае получили следующее: "Существует такой прямоугольный треугольник, для которого задача решена", а это совсем не то же, что:

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

Для прямоугольных треугольников задача решена.

Вам нужно рассмотреть ещё "континнуум минус 1" вариант.

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

Построение на этой плоскости заданного треугольника в вершинами на проекциях прямых не представляет трудности.

Во-первых, Вы никак не предлагаете использовать этот факт для решения задачи. Во-вторых, как показал опыт, для некоторых это не представляет трудности, а для некоторых представляет. Простите, но Вы ничем не подтвердили (ни сейчас, ни ранее), что Вы относитесь к первой группе.

-- 30.04.2015, 18:53 --

А вот за картинки спасибо. Лучше бы Вы их с самого начала приложили. А то ворочать в уме этими треугольниками не намного проще, чем играть в шахматы вслепую.

[Munin]

grizzly
Так что, задача-то решена? Я пока "во мраке непонимания" :-)

[grizzly]

Munin
Насколько я могу судить -- решена положительно для всех случаев.
Вот мои переформулировки созданных другими идей / решений, за которые я готов нести ответственность:
Для прямых общего положения здесь;
Для прямых, лежащих на параллельных плоскостях -- здесь (с учётом решения на плоскости от Nemiroff и, как я понял, одобрения "возврата в пространство" от svv).

Хорошо бы, конечно, чтобы финальную точку подтверждения в такой важной теме поставил кто-то из ЗУ

[Brukvalub]

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

...
Где в моих рассуждениях " невежество в учебном разделе"?

Везде "глупость и невежество. Во-первых, не доказано, что есть прямая, пересекающая все три скрещивающиеся прямые, во-вторых, из-за отсутствия такого доказательства остальные построения никакого отношения к решаемой задаче уже не имеют. Так, пустая болтовня безграмотного участника, который не понимает, что обсуждают в теме, но старательно в тему лезет, непонятно зачем.

[grizzly]

Я решил привести полное доказательство с нуля. Оно не будет опираться на предыдущие обсуждения, будет более аккуратным, но и объёмным. Повторюсь, что в идеях решения нет моей заслуги, но если здесь будут обнаружены пробелы -- они на моей совести.

Задача. Даны три скрещивающиеся прямые $l,k,m$ и треугольник $ABC$. Доказать, что выбрав по одной точке на каждой из прямых, можно сформировать треугольник, подобный данному.

Доказательство.

Часть 1. Прямые общего положения (нет общей параллельной плоскости).

Пусть $CD$ -- высота треугольника, опущенная на сторону $AB$. Не уменьшая общности, можем считать, что т.$D$ лежит между $A$ и $B$ и делит отрезок $AB$ в отношении $a:b$.
Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

В силу общности положения прямых, прямая $m$ пересекает плоскость $P$ в некоторой точке $D_0$. Эта точка делит некоторый отрезок $A_0B_0$ в отношении $a:b$ ($A_0$ и $B_0$ лежат на прямых $l$ и $k$, соответственно).
Рассмотрим в пространстве геометрическое место т.$C_0$ таких, что треугольник $A_0B_0C_0$ подобен данному (с учётом ориентации вершин). Это окружность с центром в т.$D_0$, которая лежит в плоскости, перпендикулярной $A_0B_0$.

Существует отрезок $A_1B_1$, соединяющий прямые $l$ и $k$, такой, что плоскость, перпендикулярная этому отрезку, параллельна прямой $m$. По аналогии с предыдущим строим множество вершин, формирующих с $A_1B_1$ треугольники подобные данному -- это окружность из точек $C_1$ с центром в т.$D_1$. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1B_1$ -- значит, эта плоскость параллельна прямой $m$.

Таким образом, мы построили ловушку для прямой $m$: в одном случае она попала в центр окружности, в другом -- параллельна плоскости окружности. Теперь непрерывным образом переведём отрезок $A_0B_0$ в $A_1B_1$ (вместе с их окружностями -- ГМТ подобных треугольников). В силу построенной ловушки, прямая $m$ пересечёт одну из этих окружностей в т.$C_t$. Эта точка пересечения вместе с соответствующим ей отрезком $A_tB_t$ сформирует искомый треугольник.

Часть 2. Прямые $l,k,m$ лежат на параллельных плоскостях.

Спроецируем прямые на одну из плоскостей. Решим плоскую задачу -- это всегда возможно, причём треугольник этого решения всегда можно сделать сколь угодно большим по сравнению с расстоянием между данными плоскостями.

Точки плоского решения спроецируем обратно на плоскости с соответствующими прямыми. Получившийся при этом треугольник будет с небольшой погрешностью подобен данному.

Откорректируем погрешность за счёт небольшого движения в пространстве одной из вершин так, чтобы две другие вершины остались фиксированными на своих прямых, а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины. Жёстко зафиксируем треугольник и перемещая две первые вершины по своим прямым сможем добиться попадания третьей вершины на свою прямую.

[Skeptic]

grizzly в сообщении #1009606 писал(а):

Skeptic
В первой части Вашего сообщения Вы в лучшем случае получили следующее: "Существует такой прямоугольный треугольник, для которого задача решена", а это совсем не то же, что:

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

Для прямоугольных треугольников задача решена.

grizzly, повторю ваши слова: "И даже если в моём теперешнем понимании есть какие-то пятна -- ничего страшного -- эти пятна "белые" и с ними уже понятно, что делать." Вы это только для себя допускаете, а другим нельзя?
Будем считать, что я показал, что среди треугольников, построенных на прямых, всегда найдутся прямоугольные.

grizzly в сообщении #1009606 писал(а):

Вам нужно рассмотреть ещё "континуум минус 1" вариант.

Так как можно провести много отрезков, соединяющих три прямые, то ваше замечание лишнее.
Вопросы построения подобных треугольников требуют дальнейших исследований.

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

Построение на этой плоскости заданного треугольника в вершинами на проекциях прямых не представляет трудности.

Во-первых, Вы никак не предлагаете использовать этот факт для решения задачи. Во-вторых, как показал опыт, для некоторых это не представляет трудности, а для некоторых представляет.

Это просто замечание о возможности построения заданного треугольника на трёх пересекающихся прямых, возникшей во время дискуссии. Имеет ли это к решению покажет будущее.

Skeptic в сообщении #1009586 писал(а):

Простите, но Вы ничем не подтвердили (ни сейчас, ни ранее), что Вы относитесь к первой группе.

Прощаю. Тем более, что моё мнение о вас такое же, но я его не озвучиваю, как не имеющего отношения к решению задачи.

-- 01.05.2015, 11:32 --

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Я решил привести полное доказательство с нуля. Оно не будет опираться на предыдущие обсуждения, будет более аккуратным, но и объёмным. Повторюсь, что в идеях решения нет моей заслуги, но если здесь будут обнаружены пробелы -- они на моей совести.

Задача. Даны три скрещивающиеся прямые $l,k,m$ и треугольник $ABC$. Доказать, что выбрав по одной точке на каждой из прямых, можно сформировать треугольник, подобный данному.

Доказательство.

Часть 1. Прямые общего положения (нет общей параллельной плоскости).

Пусть $CD$ -- высота треугольника, опущенная на сторону $AB$. Не уменьшая общности, можем считать, что т.$D$ лежит между $A$ и $B$ и делит отрезок $AB$ в отношении $a:b$.
Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

Утверждение:"Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$" ошибочно, т.к. прямые общего положения.

На рисунке две прямые. На прямых произвольные точки соединены отрезками. Середины отрезков соединены прямыми (вверху слева). Получился четырёхугольник. Натянем на этот четырёхугольник поверхность (внизу слева). Впечатление, что эта поверхность образует плоскость. При повороте рисунка (справа вверху) видно, что это не плоскость. На рисунке внизу справа показана поверхность в увеличении.

[grizzly]

Skeptic,
Спасибо, подняли мне праздничное настроение Буду благосклонным.

Skeptic в сообщении #1009839 писал(а):

Утверждение:"Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$" ошибочно, т.к. прямые общего положения. [далее приведен поясняющий рисунок]

А можете повернуть Ваш рисунок так, чтобы одна из прямых спроецировалась в точку? Как по Вашему мнению будет выглядеть обсуждаемая поверхность?
Совет: не злоупотребляйте рисунками, превосходящими возможности Вашего пространственного воображения.

-- 01.05.2015, 13:04 --

Skeptic в сообщении #1009839 писал(а):

grizzly в сообщении #1009586 писал(а):

Простите, но Вы ничем не подтвердили (ни сейчас, ни ранее), что Вы относитесь к первой группе.

Прощаю. Тем более, что моё мнение о вас такое же, но я его не озвучиваю, как не имеющего отношения к решению задачи.

Обратите внимание, что я несколькими сообщениями ранее честно объявил, что отношусь ко второй группе (для которых доказательство плоской задачи представило некоторую сложность, хотя я её и решил, пусть не красиво). Так что по этому вопросу наши с Вами мнения обо мне совпали

[Brukvalub]

Хорошо бы пояснить вот эти "перлы":

Skeptic в сообщении #1008263 писал(а):

Скрещивание прямых зависит от направления взгляда наблюдателя, т.е. - это субъективное ощущение, которое, как правило, обманчиво.
Как известно, через две не пересекающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости. Если смотреть вдоль этих плоскостей, то прямые не скрещиваются. Таким образом, не существуют объективно попарно скрещивающихся прямых, даже, если их три. Три линии всегда можно повернуть так, что для наблюдателя две любые из них будут выглядеть как параллельные.

Вспоминаются только слова классиков о "материи как объективной реальности, данной нам в ощущениях" Материя - объективная реальность, а скрещивание прямых - субъективное ощущение!!!

[Lia]

Skeptic
Утверждение

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

не ошибочно, а вовсе наоборот, что легко доказать. А картинки любят быть обманчивыми.

Будьте добры, прежде чем вступать в полемику, озаботьтесь доказательными аргументами. Иллюстрация в качестве доказательства не подходит.

Это было китайское предупреждение.