Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга

[chem_victory]

Доброго времени суток!
Столкнулся с проблемой: необходимо построить функцию Грина для оператора Гельмгольца на плоскости: $L(u)=\nabla^2 u+k^2u$
При условии Дирихле на границе. Т.е для мат. задачи (при условии излучения Зоммерфольда)
$L(u)=f(r)$
$u|=g(r)$

Подскажите, с чего начать? В учебнике Боголюбова описан случай для 3D;
рассматривается $L(v)=0$, далее, выполняются некоторые метамарфозы при участии 3-ей формулы Грина.
Впихуема ли это для 2D - неясно; куда что..

Правильный ответ -- функция Хенкеля(первого рода или второго - в зависимости от условий на бесконечности -- Зоммерфольда) нулевого порядка. $H*\frac{i}{4}$
Знатоки, подскажите куда копать максимально рационально!

[Munin]

Во-первых, а какая граница?
Во-вторых, Ганкеля или Ханкеля, а не Хенкеля.

[chem_victory]

Munin в сообщении #1008661 писал(а):

Во-первых, а какая граница?
Во-вторых, Ганкеля или Ханкеля, а не Хенкеля.

Граница -- круг; Решение вне круга.

[Vince Diesel]

Функция Ганкеля имеет один аргумент, а функция Грина задачи Дирихле больше. Что тогда вы подразумеваете под функцией Грина?

[chem_victory]

Vince Diesel в сообщении #1008853 писал(а):

Функция Ганкеля имеет один аргумент, а функция Грина задачи Дирихле больше. Что тогда вы подразумеваете под функцией Грина?

Ну, это такая функция, которая позволяет дать ответ в общем виде, т.е для произвольных граничных условий (обычно входит под интеграл).

[Vince Diesel]

Так у нее один аргумент. Должно быть (если в декартовых координатах) $G(x,y)$, $x,y\in \mathbb R^2$. Если вам известен правильный ответ, как именно функция Грина выражается через функцию Ганкеля? Или, может, это ответ для всей плоскости, а не для внешности круга?

[Munin]

chem_victory в сообщении #1008863 писал(а):

Ну, это такая функция, которая позволяет дать ответ в общем виде, т.е для произвольных граничных условий (обычно входит под интеграл).

Дайте всё-таки полноценное определение, выпишите этот интеграл, и укажите в нём эту функцию. Чтобы было видно, сколько у неё аргументов, хотя бы. И по чему берётся интеграл.

[chem_victory]

Для задачи

$$L(u)=f(r)$$

$u(M)=\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kR_{mp}) f(P)dS$

Это для случая излучения Зоммерфольда вне круга (но тут не учитываются граничные условия..)
*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

[svv]

Можете записать условие излучения Зоммерфельда? Возможно (в зависимости от Вашего ответа), я после этого скажу, что Ханкель нужен первого рода.

[Munin]

chem_victory в сообщении #1008907 писал(а):

*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

Вот только это не функция Грина граничной задачи. Это функция Грина неограниченной задачи. Она же называется фундаментальным решением.

[chem_victory]

svv в сообщении #1008915 писал(а):

Можете записать условие излучения Зоммерфельда? Возможно (в зависимости от Вашего ответа), я после этого скажу, что Ханкель нужен первого рода.

$\frac{\partial u}{\partial r} + iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$

Munin в сообщении #1008923 писал(а):

chem_victory в сообщении #1008907 писал(а):

*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

Вот только это не функция Грина граничной задачи. Это функция Грина неограниченной задачи. Она же называется фундаментальным решением.

А как быть с задачей вне круга?..

[Munin]

chem_victory в сообщении #1008942 писал(а):

А как быть с задачей вне круга?..

Во-о-о, вот это правильный вопрос, для этого как раз стоит почитать учебник.

[chem_victory]

Munin в сообщении #1008951 писал(а):

chem_victory в сообщении #1008942 писал(а):

А как быть с задачей вне круга?..

Во-о-о, вот это правильный вопрос, для этого как раз стоит почитать учебник.

Читал, на нашел :(

[svv]

Во многих источниках $\frac{\partial u}{\partial r} - iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$
Например: https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition
Это вопрос соглашения.
Но раз у Вас там плюс, то да, Ханкель второго рода.

Что делать:

1. Решаете неоднородное уравнение Гельмгольца $\Delta u+k^2u=f$ в $\mathbb R^2$ (не во внешности круга). В круге $B$ берёте $f=0$. Решение выписывается моментально, так как функция Грина для этого случая известна. Находите с её помощью поле на границе круга $u|_{\partial B}$.

2. Решаете однородное уравнение Гельмгольца $\Delta v+k^2v=0$ во внешности круга с граничным условием $v|_{\partial B}=g-u|_{\partial B}$

3. Сумма решений $u$ и $v$ удовлетворяет нужным условиям.

[chem_victory]

svv в сообщении #1008958 писал(а):

Во многих источниках $\frac{\partial u}{\partial r} - iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$
Например: https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition
Это вопрос соглашения.
Но раз у Вас там плюс, то да, Ханкель второго рода.

Что делать:

1. Решаете неоднородное уравнение Гельмгольца $\Delta u+k^2u=f$ в $\mathbb R^2$ (не во внешности круга). В круге $B$ берёте $f=0$. Решение выписывается моментально, так как функция Грина для этого случая известна. Находите с её помощью поле на границе круга $u|_{\partial B}$.

2. Решаете однородное уравнение Гельмгольца $\Delta v+k^2v=0$ во внешности круга с граничным условием $v|_{\partial B}=g-u|_{\partial B}$

3. Сумма решений $u$ и $v$ удовлетворяет нужным условиям.

Спасибо!

Это верно?
$\Delta v+k^2v=0$

$v= c_1 H_0^1(kr)+c_2 H_0^2(kr)$ // фундаментальное.

$\Delta u+k^2u=f$

$u(M)=\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(M)dS$ // решение для плоскости неоднородного. интегрировние по $R^2$



$\vee g \exists v_0: v_0(P)=g(P)-\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(P)dS$ // где P - точка на границе, интеграл берется по $R^2$

Т.е требуемое решение суть:

$u_0(M)=v_0(M)+\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(M)dS$ // интегрирование по $ R^2



А как получить эту известную функцию Грина для плоскости?