2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение27.04.2015, 21:24 


26/12/12
110
Доброго времени суток!
Столкнулся с проблемой: необходимо построить функцию Грина для оператора Гельмгольца на плоскости: $L(u)=\nabla^2 u+k^2u$
При условии Дирихле на границе. Т.е для мат. задачи (при условии излучения Зоммерфольда)
$L(u)=f(r)$
$u|=g(r)$

Подскажите, с чего начать? В учебнике Боголюбова описан случай для 3D;
рассматривается $L(v)=0$, далее, выполняются некоторые метамарфозы при участии 3-ей формулы Грина.
Впихуема ли это для 2D - неясно; куда что..

Правильный ответ -- функция Хенкеля(первого рода или второго - в зависимости от условий на бесконечности -- Зоммерфольда) нулевого порядка. $H*\frac{i}{4}$
Знатоки, подскажите куда копать максимально рационально!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение27.04.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Во-первых, а какая граница?
Во-вторых, Ганкеля или Ханкеля, а не Хенкеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 07:32 


26/12/12
110
Munin в сообщении #1008661 писал(а):
Во-первых, а какая граница?
Во-вторых, Ганкеля или Ханкеля, а не Хенкеля.

Граница -- круг; Решение вне круга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 14:26 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Функция Ганкеля имеет один аргумент, а функция Грина задачи Дирихле больше. Что тогда вы подразумеваете под функцией Грина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 14:53 


26/12/12
110
Vince Diesel в сообщении #1008853 писал(а):
Функция Ганкеля имеет один аргумент, а функция Грина задачи Дирихле больше. Что тогда вы подразумеваете под функцией Грина?

Ну, это такая функция, которая позволяет дать ответ в общем виде, т.е для произвольных граничных условий (обычно входит под интеграл).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 16:27 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Так у нее один аргумент. Должно быть (если в декартовых координатах) $G(x,y)$, $x,y\in \mathbb R^2$. Если вам известен правильный ответ, как именно функция Грина выражается через функцию Ганкеля? Или, может, это ответ для всей плоскости, а не для внешности круга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
chem_victory в сообщении #1008863 писал(а):
Ну, это такая функция, которая позволяет дать ответ в общем виде, т.е для произвольных граничных условий (обычно входит под интеграл).

Дайте всё-таки полноценное определение, выпишите этот интеграл, и укажите в нём эту функцию. Чтобы было видно, сколько у неё аргументов, хотя бы. И по чему берётся интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 17:42 


26/12/12
110
Для задачи
$$L(u)=f(r)$$

$u(M)=\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kR_{mp}) f(P)dS$

Это для случая излучения Зоммерфольда вне круга (но тут не учитываются граничные условия..)
*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 18:14 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можете записать условие излучения Зоммерфельда? Возможно (в зависимости от Вашего ответа), я после этого скажу, что Ханкель нужен первого рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
chem_victory в сообщении #1008907 писал(а):
*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

Вот только это не функция Грина граничной задачи. Это функция Грина неограниченной задачи. Она же называется фундаментальным решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 19:02 


26/12/12
110
svv в сообщении #1008915 писал(а):
Можете записать условие излучения Зоммерфельда? Возможно (в зависимости от Вашего ответа), я после этого скажу, что Ханкель нужен первого рода.


$\frac{\partial u}{\partial r} + iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$

Munin в сообщении #1008923 писал(а):
chem_victory в сообщении #1008907 писал(а):
*ответ из Тихонов-Самарский. Матфизика

Вот только это не функция Грина граничной задачи. Это функция Грина неограниченной задачи. Она же называется фундаментальным решением.

А как быть с задачей вне круга?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
chem_victory в сообщении #1008942 писал(а):
А как быть с задачей вне круга?..

Во-о-о, вот это правильный вопрос, для этого как раз стоит почитать учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 19:23 


26/12/12
110
Munin в сообщении #1008951 писал(а):
chem_victory в сообщении #1008942 писал(а):
А как быть с задачей вне круга?..

Во-о-о, вот это правильный вопрос, для этого как раз стоит почитать учебник.


Читал, на нашел :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 19:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Во многих источниках $\frac{\partial u}{\partial r} - iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$
Например: https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition
Это вопрос соглашения.
Но раз у Вас там плюс, то да, Ханкель второго рода.

Что делать:

1. Решаете неоднородное уравнение Гельмгольца $\Delta u+k^2u=f$ в $\mathbb R^2$ (не во внешности круга). В круге $B$ берёте $f=0$. Решение выписывается моментально, так как функция Грина для этого случая известна. Находите с её помощью поле на границе круга $u|_{\partial B}$.

2. Решаете однородное уравнение Гельмгольца $\Delta v+k^2v=0$ во внешности круга с граничным условием $v|_{\partial B}=g-u|_{\partial B}$

3. Сумма решений $u$ и $v$ удовлетворяет нужным условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина уравнения Гельмгольца, вне круга
Сообщение28.04.2015, 20:23 


26/12/12
110
svv в сообщении #1008958 писал(а):
Во многих источниках $\frac{\partial u}{\partial r} - iku = O(\frac{1}{r^{1/2}})$
Например: https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition
Это вопрос соглашения.
Но раз у Вас там плюс, то да, Ханкель второго рода.

Что делать:

1. Решаете неоднородное уравнение Гельмгольца $\Delta u+k^2u=f$ в $\mathbb R^2$ (не во внешности круга). В круге $B$ берёте $f=0$. Решение выписывается моментально, так как функция Грина для этого случая известна. Находите с её помощью поле на границе круга $u|_{\partial B}$.

2. Решаете однородное уравнение Гельмгольца $\Delta v+k^2v=0$ во внешности круга с граничным условием $v|_{\partial B}=g-u|_{\partial B}$

3. Сумма решений $u$ и $v$ удовлетворяет нужным условиям.


Спасибо!

Это верно?
$\Delta v+k^2v=0$

$v= c_1 H_0^1(kr)+c_2 H_0^2(kr)$ // фундаментальное.

$\Delta u+k^2u=f$

$u(M)=\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(M)dS$ // решение для плоскости неоднородного. интегрировние по $R^2$



$\vee g \exists  v_0: v_0(P)=g(P)-\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(P)dS$ // где P - точка на границе, интеграл берется по $R^2$

Т.е требуемое решение суть:

$u_0(M)=v_0(M)+\frac{i}{4}\int \int H^2_{0}(kr) f(M)dS$ // интегрирование по $ R^2



А как получить эту известную функцию Грина для плоскости?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group