Магнитный поток через круг.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В ходе решения более масштабной задачи столкнулся с необходимостью расчета магнитного потока через круг, по внешней границе которого летает заряд, и очень хотел бы проверить правильность своих рассчетов (задачу поставил себе сам, ответов за сим не имею).
Постановка задачи: Есть окружность радиуса $R$, по которой летает электрон с известной угловой скоростью $\omega$, необходимо найти магнитный поток, пронизывающий заключенный внутри окружности круг.
Мой вариант решения:
Все вычисления проводим для конкретного момента времени (то бишь время - константа).
1. Введем декартову систему координат в центр окружности, тогда координаты радиус вектора электрона меняются следующим образом:
$\left\{ \begin{array}{rcl} & x = \cos\omega t& \\ & y = \sin\omega t& \\ \end{array} \right.$

Скорость тогда задается вектором:

$\mathbf{v} = \left\lbrace -\omega\sin\omega t; \omega\cos\omega t\right\rbrace$

2. Теперь появляется возможность рассчитат магнитное поле в точке с произвольным радиус-вектором:
$\mathbf{r} = \left\lbrace x; y\right\rbrace$
По формуле:
$\mathbf{B} = \frac{e\mu_0[\mathbf{v} \times \mathbf{r}]}{4\pi r^3}$
Раскрывая векторное произведение получаем, что магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости вращения, и по модулю равно:
$B = \frac{e\mu_0(xR\omega\cos(\omega t) + yR\sin(\omega t))}{4\pi (x^2 + y^2)^\frac{3}{2}}$
Поскольку в дальнейшем я буду разбивать круг на колечки, находящиеся на одинаковом удалении от центра, то я преобразую данную формулу для частного случая, введя параметризацию через произвольный угол $\psi$ (ходим по колечкам) и переменный радиус колечка $r$ (ходим между колечками), тогда формула приобретает вид:
$B = \frac{eR\omega\mu_0(\cos\psi \cos(\omega t) + \sin\psi\sin(\omega t))}{4\pi r^2}$

3. Теперь можно перейти к вычислению магнитного потока через круг, для этого разобьем круг на множество бесконечно тонких колечек, тогда магнитный поток через круг будет равен двойному интегралу:
$\Phi = 4\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{eR\omega\mu_0(\cos\psi \cos(\omega t) + \sin\psi\sin(\omega t))}{4\pi r^2}rd\psi dr$
Перепишем еще раз, сократив одинаковые множители:
$\Phi = \int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{eR\omega\mu_0(\cos\psi \cos(\omega t) + \sin\psi\sin(\omega t))}{r\pi}d\psi dr$
Вычислить такое в целом нетрудно:
$\Phi = \frac{eR\omega\mu_0}{\pi}\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{\pi}(\cos\psi \cos(\omega t) + \sin\psi\sin(\omega t))d\psi\frac{1}{r}dr$
$\Phi = \frac{eR\omega\mu_0}{\pi}\int\limits_{0}^{R}(\cos\psi \cos(\omega t) + \sin\psi\sin(\omega t))\bigg_|\imits_{0}^{\pi}\frac{1}{r}dr$
$\Phi = -\frac{eR\omega\mu_0}{\pi}\int\limits_{0}^{R}\frac{2\cos(\omega t)}{r}dr$
$\Phi = -\frac{2eR\omega\mu_0\cos(\omega t)}{\pi}\ln(r) \bigg_|\limits{0}^{R}$
Кароче несобственный интеграл я еще не совсем умею брать и тут мне нужна помочь, однако мне кажется что нижним пределом можно пренебречь, итого из этого предположения:
$\Phi=-\frac{2eR\omega\mu_0\cos(\omega t)\ln(R)}{\pi}$

[rustot]

В формуле для $\vec{B}$ и в числителе и в знаменателе должен быть не радиус вектор точки $\vec{r}$ а его разность с радиус-вектором заряда, если заряд находится не в начале координат

[Pulseofmalstrem]

rustot
Упс, это довольно неприятно. Придется многое пересчитывать.

[Pulseofmalstrem]

Как бы то ни было продолжаю с учетом замечания.

Условия: Окружность радиуса $R$, угловая скорость $\omega$, вращается электрон, требуется найти магнитный поток через круг, заключенный внутри окружности вращения.
Решение проводится для фиксированного момента времени.

1. Вводим декартовы координаты, тогда координаты нашего электрона, в силу вращения по окружности, запишутся так:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x = R\cos\omega t& \\ &y = R\sin\omega t& \\ \end{array} \right.$
Радиус-вектор электрона обозначим за $\mathbf{r} = \left\lbrace R\cos\omega t, R\sin\omega t \right\rbrace$.
Тогда скорость запишется так:
$\mathbf{v} = \left\lbrace -R\omega\sin\omega t; R\omega\cos\omega t\right\rbrace$

2. Магнитное поле в точке с произвольным радиус-вектором $\mathbf{r'} = \left\lbrace x;y \right\rbrace$ вычисляем по формуле:
$\mathbf{B} = \frac{e\mu_o[(\mathbf{r'}-\mathbf{r})\times \mathbf{v}]}{4\pi [\mathbf{r'}-\mathbf{r}]^3}$
Для сокращения записи отдельно посчитаем разность радиус векторов, обозначив ее за $\mathbf{S}$:
$\mathbf{S} = \left\lbrace x - R\cos\omega t; y - R\sin\omega t\right\rbrace$
В итоге получаем, что магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка, а его модуль равен:
$B(x,y) = \frac{e\mu_0 R\omega(\cos(\omega t)x + \sin(\omega t)y - R)}{4\pi(x^2 + y^2 + R^2 - 2R(\cos(\omega t)x + \sin(\omega t)y))^\frac{3}{2}}$
Сурово, конечно, но, к сожалению, похоже на правду.
Вводя параметризацию через переменный угол $\psi$ (ходим по колечку) и произвольный радиус $r$ (ходим между колечками), получаем следующую формулу:
$B(\psi;r) = \frac{eR\omega\mu_0(r\cos(\omega t)\cos\psi + r\sin(\omega t) \sin\psi - R)}{4\pi(r^2 +R^2 -2Rr(\cos(\omega t)\cos\psi + \sin(\omega t) \sin\psi))^\frac{3}{2}}$
Чтобы время зря не терять, вычисляя сложные интегралы, которые сейчас полезут, прошу проверить правильно ли?

[rustot]

Я не понимаю зачем вам эта возня с функциями от $t$ если очевидно в силу симметрии что поток постоянный. Возьмите заряд пролетающий через начало координат со скоростью $v$ вдоль $x$ и найдите поток через круг радиусом $R$ с центром в точке $x=0,y=R$ в этот единственный момент

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1008440 писал(а):

В ходе решения более масштабной задачи столкнулся с необходимостью расчета магнитного потока через круг, по внешней границе которого летает заряд, и очень хотел бы проверить правильность своих рассчетов (задачу поставил себе сам, ответов за сим не имею).
Постановка задачи: Есть окружность радиуса $R$, по которой летает электрон с известной угловой скоростью $\omega$, необходимо найти магнитный поток, пронизывающий заключенный внутри окружности круг.

Тут вот какая проблема. Заряд, летающий по кругу, излучает (электромагнитные волны). Таким образом, вы не можете игнорировать запаздывание электромагнитного поля. В частности, ваши формулы для $\mathbf{B}$ неверны, потому что поле в точке $(x,y)$ будет зависеть не от $\mathbf{r}$ в тот момент, когда вычисляется поле, а от $\mathbf{r}$ в более ранний момент, когда электромагнитная волна (движущаяся со скоростью $c$) оторвалась от заряда, чтобы прийти в нужный момент в точку $(x,y).$

С учётом этого, формулы становятся весьма громоздкими и неприятными. Удобней пользоваться потенциалами (вычислять меньше), и это потенциалы Лиенара-Вихерта (см. ЛЛ-2 §§ 62, 63).

[Pulseofmalstrem]

Munin
Тут вот какое дело, я это все затеял с той целью, чтобы попробовать вычислить время падения электрона с произвольной орбитали в планетарной модели Резерфорда (без КМ), но так как я школьник - уравнений Максвелла пока решать не умею, ну и я решил "схитрить", рассчитав магнитный поток и взяв от него производную, я бы смог выразить ЭДС индукции, которая как бы возникает в орбитали контура, а отсюда можно выразить по школьному вихревое поле и записать необходимые дифф. уравнения, но теперь я вижу что тут уравнений Максвелла таки не обойтись.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1008637 писал(а):

ну и я решил "схитрить", рассчитав магнитный поток и взяв от него производную

Ну, в вашем методе расчёта изначально "не заложено" никакой производной. Поэтому и получится то, что rustot сказал.

Pulseofmalstrem в сообщении #1008637 писал(а):

но теперь я вижу что тут уравнений Максвелла таки не обойтись.

Уравнения Максвелла здесь нужны всё-таки больше для идеологии. Чтобы понимать, что в задаче происходит, и что вы вообще считаете.

А так, есть конкретные вычисления на основе уравнений Максвелла, которые позволяют "срезать путь". Хотя хорошо бы понимать, что вообще эти вычисления значат, и для каких условий они верны (это очень важно в физике).

Например, по сути, потеря энергии подобным движущимся электроном - вычислена в ЛЛ-2 § 67 (или где-то рядом). Надеюсь, вы знаете, что такое ЛЛ-2 - это
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
- 2-й том из знаменитого 10-томника "Теоретическая физика" (который на жаргоне ещё называют "Библия"). Но я вас порадовать не могу, стандартно это где-то 2-3-й курс физического вуза, то есть требуется и физическая, и математическая подготовка, чтобы читать этот учебник.

Например, полная интенсивность излучения (67.5):

$$I=\dfrac{2e^2w^2}{3c^3},$$

где $w$ - ускорение заряда.

Чтобы на школьном уровне познакомиться с уравнениями Максвелла (но ещё не со способами их решения - это отдельная немалая наука!), порекомендую такие книги:
Зильберман. Электричество и магнетизм.
Парселл. Электричество и магнетизм. (Это 2-й том из цикла "Берклеевский курс физики".)
Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. Том 6. Электродинамика. (В некоторых изданиях изданы одной книгой 5-6.)

[Pulseofmalstrem]

Munin
Благодарствую за литературу, я давно уже хочу изучить, как с научной точки зрения устроено такое чудное явление, как свет, хотя бы в классическом понимании, так что можно сказать, что электромагнетизм - моя цель, но я все никак не уверен,что готов взяться за него основательно.
На данном этапе я уже довольно освоил интегрирование, дифференцирования от одной переменной (вот сейчас начал пробовать пользоваться двойными интегралами и хочу начать изучать векторный анализ), решать дифф. уравнения для делящихся переменных, однако на ЛЛ у меня силенок не хватает (там перва глава уже с вариационного исчисления начинается, что вызывает трудности огромные). Как думаете я могу уже начать читать что-то про электромагнетизм, что бы составить первое уверенное знакомство с ним в частности, и с азами теории поля (которая кажется мне очень красивой именно внешне) в общем на моем уровне?

[Munin]

Повторяю: Зильберман, Парселл, Фейнман. Они уже вполне годятся вам по уровню. Особенно если начнёте с Зильбермана. По сути, он объясняет такие понятия векторного анализа, как потенциал, градиент, дивергенцию, ротор, просто называя их немного другими словами (источники, стоки поля → дивергенция; вихри поля → ротор). "На пальцах", не давая даже полноценных определений. Но зато потом всё это станет просто и понятно, когда будет уже записываться формулами в других учебниках.

Добавлю ещё
Тамм. Основы теории электричества.
Его полезно иметь при себе как "справочник про всё", доскональный и глубокий, но читать - по более лёгким книгам.