В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.

[DAP]

Уважаемый Munin!

Основываясь на утверждениях Munin

Munin в сообщении #1008310 писал(а):

или в векторном виде
$E_n=q\frac{\vec{R}_q\cdot\vec{R}}{R_q^3R}$

Munin в сообщении #1008343 писал(а):

DAP в сообщении #1008339 писал(а):

величина потока вектора напряженности электрического поля заряда $q$ через рассматриваемую поверхность не зависит от его положения внутри сферической поверхности и ВСЕГДА равна, как и в случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, значению
$\displaystyle K=4\pi q$?

Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$

из которых следует его согласие о постоянстве потока вектора поля и независимости его величины $\displaystyle K=4\pi q$ от положения единственного заряда внутри рассматриваемой сферы, приступим к очередному элементарному исследованию. Итак:

$\vec{R}=R\vec{n}_{R}=R(\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k}), $ (1)

$\vec{R}_{q}=\vec{R}-\vec{r}_{q}=R_{q}\vec{n}_{q}=R_{q}(\cos \alpha_{q}\cdot \vec{i}+\cos \beta_{q}\cdot \vec{j}+\cos \gamma_{q}\cdot \vec{k}),$ (2)

$\vec{R}_{q}\cdot \vec{R}=(R_{q}\cdot R)(\vec{n}_{q}\cdot \vec{n}_{R})=(R_{q}\cdot R)(\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma)=(R_{q}\cdot R)\cos \lambda_{q},$ (3)

(здесь $\lambda_{q}$ - угол между векторами $\vec{R}$ и $\vec{R}_{q}$)

$K=\oint_{S}E_{n}dS=q\oint_{S}\frac{\vec{R}_{q}\cdot \vec{R}}{R_{q}^{3}R}dS=q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q.$ (4)

"Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$" (c) Munin

При постоянстве величины радиуса сферы $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!) выражение (4) выполняется тогда и только тогда, когда

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$ (5)

То есть

$\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma=\frac{R_{q}^{2}}{R^{2}}=\cos \lambda _{q},$ (6)

или

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha}{\cos \lambda _{q}} +\frac{\cos \beta _{q}\cos \beta}{\cos \lambda _{q}}+\frac{\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{\cos \lambda _{q}}=1.$ (7)

Так как

$\cos^{2}\alpha+\cos^{2} \beta+\cos^{2} \gamma=1; \cos^{2}\alpha_{q}+\cos^{2} \beta_{q}+\cos^{2} \gamma_{q}=1,$ (8)

то

$\cos \lambda _{q}=\frac{\cos \alpha_{q}\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{\cos \beta_{q}\cos\beta }{\cos^{2}\beta }=\frac{\cos \gamma_{q}\cos\gamma }{\cos^{2}\gamma}, $ (9)

и

$\cos \lambda _{q}=\frac{\cos \alpha_{q}\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha_{q}}=\frac{\cos \beta_{q}\cos\beta}{\cos^{2}\beta_{q}}=\frac{\cos \gamma_{q}\cos\gamma }{\cos^{2}\gamma_{q}}.$ (10)

Следовательно

$\cos \alpha_{q}=\cos\alpha; \cos \beta_{q}=\cos\beta; \cos \gamma_{q}=\cos\gamma;\cos \lambda_{q}=1.$ (11)

А также

$3\cos \alpha_{q}\cos\alpha= 3\cos \beta_{q}\cos\beta=3 \cos \gamma_{q}\cos\gamma=1,$ (12)

откуда

$\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cos \alpha_{q}=\cos \beta_{q}=\cos \gamma_{q}. $ (13)

Результат исследования условий применимости теоремы Гаусса, сделанный в стартовом посте темы, остался неизменным:

Применение электростатической теоремы Гаусса для решения рассматриваемой задачи отыскания потока вектора электрического поля для случая, когда положение точечного заряда не совпадает с центром сферы, правомерно в одном единственном случае: когда угол между вектором $\vec{R}_{q}$ и направлением $\vec{n}_{R}$ равен нулю

$\cos \lambda _{q}=1\Rightarrow \lambda _{q}=0,$

причем само данное направление

$\cos \alpha _{q}=\cos\beta _{q}=\cos \gamma _{q}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cos \alpha=\cos\beta=\cos \gamma,$

является единственным.

С уважением, DAP.

-- 27.04.2015, 11:38 --

rustot в сообщении #1008435 писал(а):

1- величину, она константой не является. 2 - вынесли не всю константу

DAP в сообщении #1008453 писал(а):

$K=\oint_{S}E_{n}dS=q\oint_{S}\frac{\vec{R}_{q}\cdot \vec{R}}{R_{q}^{3}R}dS=q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q. (4)
"Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$" (c) Munin
При постоянстве величины радиуса сферы $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!) выражение (4) выполняется тогда и только тогда, когда
$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$ (5)
С уважением, DAP.

Уважаемый rustot!

Результат исследования условий применимости теоремы Гаусса, сделанный в стартовом посте темы, остался неизменным.

С уважением, DAP.

[rustot]

DAP в сообщении #1008453 писал(а):

выражение (4) выполняется тогда и только тогда

Как из $\iint f(x,y,z) dS = \operatorname{const}$ вы можете сделать вывод о том, чему равна подинтегральная функция $f(x,y,z)$? Никак. Бесконечное множество функций дадут при интегрировании одну и ту же константу, а не "тогда и только тогда"

Константами у вас являются

$R$
$\vec{r_q}$.
$q$

Константами НЕ являются, а являются функциям от координат точек поверхности по которой берется интеграл:

$\vec{R}(x,y,z)$
$\vec{R_q}(x,y,z)$
$R_q(x,y,z)$
$\vec{n_r}(x,y,z)$
$\vec{n_q}(x,y,z)$
$\alpha(x,y,z)$
$\beta(x,y,z)$
$\gamma(x,y,z)$
$\lambda_q(x,y,z)$
$\alpha_q(x,y,z)$
$\beta_q(x,y,z)$
$\gamma_q(x,y,z)$

Интеграл пробегается по всем точкам поверхности сферы и в каждой точке эти величины имеют новое значение. От того что вы спрятали $x$ в $\cos \alpha = x/R$, переменная $x$ не превратилась в константу и никуда из подинтегральной функции не исчезла

$\iint \vec{E}(x,y,z) \vec{n}(x,y,z) dS = \frac{1}{R} \iint (E_x(x,y,z) x + E_y(x,y,z) y + E_z(x,y,z) z) dS$

$x,y,z$ - это координаты точки на сфере, которая лежит на участке площадью $dS$. В интеграле перебираются последовательно все такие участки, лежащие на сфере, у кадого такого участка своя точка со своими $x,y,z$, со своим вектором нормали и со своим вектором напряженности поля

[DAP]

rustot в сообщении #1008466 писал(а):

DAP в сообщении #1008453 писал(а):

выражение (4) выполняется тогда и только тогда

Как

Уважаемый rustot!

После Вашего обоснования, что условие

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$

не является единственным условием тождественности выражения

$q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q.$

мы сразу же и продолжим дискуссию.

Пока же данное условие - единственное.

С уважением, DAP.

[rustot]

DAP в сообщении #1008476 писал(а):

После Вашего обоснования, что условие

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$

не является единственным условием тождественности выражения

$q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q.$

То есть вам нужно обоснование что из $\iint f(x,y,z) dS = \operatorname{const}$ НЕ следует что $f(x,y,z)$ является константой? Вы серьезно? Вы считаете что из равенства интеграла константе следует равенство подинтегральной функции константе?

Хорошо. Например $f(x,y,z) = \frac{1 + x + 7y}{R^2} + 3 z^3 \Rightarrow \iint f(x,y,z) dS = 4\pi$ при интегрировании по сфере радиусом $R$ с центром в начале координат. Пойдет в качестве демонстрации?

[nnosipov]

DAP в сообщении #1008453 писал(а):

При постоянстве величины радиуса сферы $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!) выражение (4) выполняется тогда и только тогда, когда

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$ (5)

Наше дело простое --- заявить. А обосновывает наши заявления пусть Пушкин

[Anton_Peplov]

Ой, тут по значению определенного интеграла подынтегральную функцию нашли?
Я чего-то серьезно не понимаю в жизни...

[Munin]

DAP в сообщении #1008476 писал(а):

После Вашего обоснования, что условие

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$

не является единственным условием тождественности выражения

$q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q.$

мы сразу же и продолжим дискуссию.

Пока же данное условие - единственное.

В математике нет понятия "единственное условие". В математике есть понятие "необходимое условие", и есть понятие "достаточное условие". В том числе, "необходимое и достаточное условие".

Переведите ваше заявление на общепринятый язык.

-- 27.04.2015 20:46:12 --

DAP в сообщении #1008453 писал(а):

$K=\oint_{S}E_{n}dS=q\oint_{S}\frac{\vec{R}_{q}\cdot \vec{R}}{R_{q}^{3}R}dS=q\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi q.$ (4)

"Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$" (c) Munin

При постоянстве величины радиуса сферы $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!) выражение (4) выполняется тогда и только тогда, когда

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.$ (5)

Нет, это не верно. В одну сторону ("тогда, когда") - это верно, но в другую ("только тогда") - нет.

Интеграл может принимать некоторое значение не только тогда, когда подынтегральное выражение константа.

Пример:

Рассмотрим $I=\int\limits_0^1 (1+ax+bx^2)dx.$ Во-первых, очевидно, что если $a=b=0,$ то $I=1.$

Но во-вторых, существуют и другие $(a,b),$ при которых $I=1.$ Их даже можно найти в явном виде.
$I=\int\limits_0^1 (1+ax+bx^2)dx=\left.(x+\tfrac{a}{2}x^2+\tfrac{b}{3}x^3)\right|_0^1=1+\tfrac{a}{2}+\tfrac{b}{3}.$
$I=1\quad\Rightarrow\quad\tfrac{a}{2}+\tfrac{b}{3}=0\quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{3}{2}a.$
Например, при $a=-2,\quad b=3$ тоже будет $\int\limits_0^1 (1+ax+bx^2)dx=1,$ но подынтегральная функция ни в коем случае не константа, и не может быть вынесена из-под знака интеграла.

Таким образом, ваши рассуждения, начиная с формулы (5), все неверны.

А давайте-ка вы займётесь исследованием в более правильном направлении? Посчитайте всё-таки интеграл, который выписан в post1008310.html#p1008310 . Вот тогда вы сами своими глазами (и руками) убедитесь в том, чему он равен.

Я вам даже готов предложить упрощение: можно взять $x_q=y_q=0,\quad z_q\ne 0,\quad -R<z_q<R.$

Или вы не умеете интегрировать???

[DAP]

Munin в сообщении #1008621 писал(а):

Таким образом, ваши рассуждения, начиная с формулы (5), все неверны.
А давайте-ка
Или вы не умеете интегрировать???

Уважаемый Munin!

А давайте-ка Вы продемонстрируете, как Вы умеете интегрировать и обосновывать свои утверждения "ваши рассуждения все неверны" на рассматриваемом примере

$\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi $, (*)

Оk?

Ведь для того, чтобы Ваши наставления

Munin в сообщении #1008621 писал(а):

В математике есть понятие "необходимое условие", и есть понятие "достаточное условие". В том числе, "необходимое и достаточное условие"

были адекватны Вашим действиям, "необходимым и достаточным условием" продолжения с Вами конструктивной дискуссии является ВАШ ХОТЯ БЫ ОДИН пример выполнения рассматриваемого тождества (*), отличный от

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}$.

С уважением, DAP.

[Munin]

DAP в сообщении #1008664 писал(а):

А давайте-ка Вы продемонстрируете, как Вы умеете интегрировать и обосновывать свои утверждения "ваши рассуждения все неверны" на рассматриваемом примере

$\oint_{S}\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}dS=4\pi $, (*)

Оk?

Не оk.

Вы пришли с ошибками. Вам помогают в них разобраться. В том числе, и я. Для этого вы должны выполнять упражнения, а не я - если я что-то сделаю, вам это не поможет.

Кроме того, эта задача в точности та, которую я дал вам. Если я её решу, то потом вы спишете у меня решение, и мне же и покажете. Вы этим не покажете, что сами умеете интегрировать.

Если вы не хотите разбираться со своими ошибками - то модераторы переместят разговор из раздела "Помогите решить / разобраться" в раздел для закореневших невежд - в "Пургаторий". И там вам никто отвечать не будет. Там ваши ошибки просто будут преданы забвению. И пропагандировать их через этот форум вам не дадут.

DAP в сообщении #1008664 писал(а):

"необходимым и достаточным условием" продолжения с Вами конструктивной дискуссии является ВАШ ХОТЯ БЫ ОДИН пример выполнения рассматриваемого тождества (*), отличный от

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}}=\frac{1}{R^{2}}$.

Нет. Необходимо и достаточно показать, что само это выражение может не выполняться. А проделать расчёт (*) - ваша работа.

[rustot]

Да пример то несложно привести. Возьмем заряд по координатам $x_q=R/2, y_q=0, z_q=0$. Тогда ваше выражение в одной точке окружности $x=R,y=0,z=0$ равно $\frac{4}{R^2}$, а в другой точке окружности $x=-R, y=0, z=0$ равно $\frac{4}{9 R^2}$, то есть $\frac{1}{R^2}$ оно не равно, а является функцией от координат. При этом интеграл от него равен аккурат $4 \pi$.

$\frac{\cos \alpha _{q}\cos\alpha+\cos \beta _{q}\cos \beta+\cos \gamma _{q}\cos \gamma}{R_{q}^{2}} = \frac{R - x/2}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 - R x}^3}$

$\iint \frac{R - x/2}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 - R x}^3} dS = 2 \pi \int_{-R}^{R} \frac{R^2 - R x/2}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 - R x}^3} dx = 2\pi(1 - (-1)) = 4\pi$

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: Попробовали - не получилось.

-- Вт апр 28, 2015 08:05:54 --

DAP, строгое предупреждение.
Причины: агрессивное невежество, троллинг, создание дубля темы, помещённой в Пургаторий. С учётом того, что предупреждения за аналогичные действия у вас уже были и был бан на 1 неделю - блокировка на 2 недели.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
д) Пропаганда и распространение лженауки, безграмотности и невежества; систематическое нарушение принятых в науке методов изложения материала; использование бессодержательных или голословных аргументов и тезисов; игнорирование аргументов или содержательных вопросов собеседников, либо формальные отписки, не касающиеся сути дела; оскорбления и бездоказательные обвинения общего характера в адрес научного сообщества и отдельных ученых (см. п. III-4).
ж) Оффтопик, флуд, троллинг, размещение заведомо бессодержательных сообщений и тем, увод дискуссии в сторону от основного обсуждения, размещение большого числа сообщений в пределах одной темы подряд. Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. Искусственное поднятие темы бессодержательными сообщениями.