2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение19.04.2015, 20:54 


28/11/13

64
Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!

Цель исследования: помочь всем, кто в этом заинтересован, разобраться с перспективами нижеследующего следствия решения задачи отыскания условий применимости электростатической теоремы Гаусса для определения потока вектора результирующей напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов.

Итак, постановка задачи: Установить условия применимости электростатической теоремы Гаусса для определения потока $K$ результирующего вектора $\vec{E}$ напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой сферической поверхности $S$ радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ ($x,y,z$ – независимые переменные) в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$.

Решение. Для того, чтобы определить суммарное векторное поле системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой поверхности $S$ в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, с результирующей напряженностью

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}$   (1)

сначала определим напряженность электрического поля i-го заряда $q$ системы $m$ одинаковых зарядов в точке $R(x,y,z)$ рассматриваемой сферической поверхности (см. например, [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971, гл. IX, #3, “Теория поля”]):

$\vec{E}_{i}=q\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k},$   (2)

где

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=(x-x_{i})\cdot \vec{i}+(y-y_{i})\cdot \vec{j}+(z-z_{i})\cdot \vec{k}$   (3)

есть i-й вектор между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$.

Исходя из приведенных записей $\vec{E}_{i}$ и $\vec{R}_{i}$, выражение (1) для результирующей напряженности суммарного векторного поля системы $m$ одинаковых зарядов $q_{i}$ запишется так:

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}=q\sum_{i=1}^{m}\left [ \frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k} \right ],$   (4)

а проекция результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ суммарного электрического поля системы равных по величине зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$ на совпадающее с направлением нормали к сферической поверхности $S$ в точке $R(x,y,z)$ направление радиус-вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$, где

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta  \cdot \vec{j}+\cos \gamma  \cdot \vec{k},$   (5)

а $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$  (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$   (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=4\pi R^{2}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$   (8)

Так как для рассматриваемой системы $m$ равных по величине зарядов $\sum q_{i}=mq$, то очевидно, что необходимым условием справедливости применения электростатической теоремы Гаусса в данном случае является тождественность выражений (7) и (8)

$4\pi q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )R^{2} \cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right ) R^{2} \cos \beta +\left (\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )R^{2} \cos \gamma \right ]=$
$=4\pi mq,$   (9)

или выполнение тождества

$\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \alpha +\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \beta  +\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \gamma =1.$   (10)

Так как

$\left | R \right |=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{y}{\cos \beta }=\frac{z}{\cos \gamma };\left | R_{i} \right |=\frac{x-x_{i}}{\cos \alpha_{i} }=\frac{y-y_{i}}{\cos \beta_{i} }=\frac{z-z_{i}}{\cos \gamma_{i} },$   (11)

где $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=R_{i}\vec{n}_{i}=R_{i}(\cos \alpha_{i}\cdot \vec{i}+\cos \beta_{i}\cdot \vec{j}+\cos \gamma_{i}\cdot \vec{k}),$   (12)

то, после домножения правой и левой частей уравнения (10) на единичный вектор $\vec{n}_{i}=\cos \alpha_{i}\cdot \vec{i}+\cos \beta_{i}\cdot \vec{j}+\cos \gamma_{i}\cdot \vec{k}$ получаем выражение

$\frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \alpha _{i}\cos ^{2}\alpha +\frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \beta _{i}\cos ^{2}\beta+ \frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \gamma _{i}\cos ^{2}\gamma= $
$=\cos \alpha\cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k},$   (13)

которое справедливо только при тождественности соответствующих компонентов векторов правой и левой его частей, а именно при:

$\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}}=\cos \alpha _{i}\cos\alpha=\cos \beta _{i}\cos \beta=\cos \gamma _{i}\cos \gamma.$   (14)

В итоге, учитывая тот факт, что

$\vec{R}_{i}\cdot \vec{R}=(R_{i}\cdot R)(\vec{n}_{i}\cdot \vec{n}_{R})=(R_{i}\cdot R)(\cos \alpha _{i}\cos\alpha+\cos \beta _{i}\cos \beta+\cos \gamma _{i}\cos \gamma)=$
$=(R_{i}\cdot R)\cos \lambda_{i},$   (15)

где \lambda_{i}$ – угол между векторами $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$, а также используя справочное определение косинуса угла между двумя векторами

$\frac{(x-x_{i})x+(y-y_{i})y+(z-z_{i})z}{(R_{i}\cdot R)}=\cos \lambda _{i}\Rightarrow \cos \lambda _{i}=3\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}},$   (16)

где (см. (14) и (15))

$\cos \lambda _{i}=3\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}}=3\cos \alpha _{i}\cos\alpha=3\cos \beta _{i}\cos \beta=3\cos \gamma _{i}\cos \gamma,$   (17)

выведем окончательно основное математическое следствие применения электростатической теоремы Гаусса в рассматриваемом случае.

Итак, из (14)-(17) следует, что

$x^{2}\frac{\cos \alpha _{i}}{\cos \alpha }=y^{2}\frac{\cos \beta _{i}}{\cos \beta }=z^{2}\frac{\cos \gamma _{i}}{\cos \gamma}=R_{i}^{2},$   (18)

а значит

$R_{i}^{2}\left (\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha_{i} }+\frac{\cos \beta }{\cos \beta_{i} }+\frac{\cos \gamma }{\cos \gamma_{i}}  \right )=R^{2},$   (19)

откуда

$\cos \lambda _{i}\left (\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha_{i} }+\frac{\cos \beta }{\cos \beta_{i} }+\frac{\cos \gamma }{\cos \gamma_{i}}  \right )=3,$   (20)

которое приводит к следующей записи величины косинуса угла между векторами $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$:

$\cos \lambda _{i}=\frac{\cos\alpha_{i}}{\cos \alpha}=\frac{\cos\beta_{i} }{\cos \beta}=\frac{\cos \gamma_{i} }{\cos \gamma}.$   (21)

Решением системы уравнений (17) и (21) является:

$\cos \alpha=\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}},$   (22)

а так как

$\cos^{2}\alpha_{i}+\cos^{2} \beta_{i}+ \cos^{2} \gamma_{i}=1,$   (23)

то, при записи выражения (21) на основании (22) в виде

$\frac{\cos \lambda _{i}}{\sqrt{3}}=\cos \alpha _{i}=\cos\beta_{i}=\cos\gamma _{i},$   (24)

приходим, на основании (23) и (24), к закономерному следствию применения электростатической теоремы Гаусса для определения потока через сферическую поверхность $S$ результирующего вектора напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов, лежащих внутри рассматриваемой поверхности:

$\cos \alpha _{i}=\cos\beta_{i}=\cos\gamma _{i}=\frac{1}{\sqrt{3}},$   (25)

заявляющему о единственности математического условия выполнения записи (15) скалярного произведения векторов $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$ и которое формулируется следующим образом:

применение электростатической теоремы Гаусса для решения рассматриваемой задачи правомерно тогда и только тогда, когда направление i-го вектора $\vec{R}_{i}=R_{i}\vec{n}_{i}$ между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой сферической поверхности $R(x, y, z)$ совпадает с направлением вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$ (то есть только тогда, когда все i-е заряды расположены на радиус-векторе $\vec{R}$), а, значит, когда угол между любым вектором $\vec{R}_{i}$ и направлением $ \vec{n}_{R}$ равен нулю

$\cos \lambda _{i}=1\Rightarrow \lambda _{i}=0,$   (26)

причем само данное направление, определяемое направляющими косинусами ортов $\vec{n}_{R}$ и $\vec{n}_{i}$

$\cos \alpha _{i}=\cos\beta  _{i}=\cos \gamma _{i}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cos \alpha=\cos\beta=\cos \gamma,$   (27)

является единственным.

Всем, кто заинтересован разобраться с перспективами подобного результата решения данной задачи, просьба оставлять конструктивные комментарии.

С уважением, DAP.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.04.2015, 21:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: долго думал, в Карантин или сразу в Пургаторий. По-видимому, все-таки второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение19.04.2015, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DAP в сообщении #1005688 писал(а):
...$\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$ (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=4\pi R^{2}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (8)

В формуле (8) куда-то интеграл делся. На самом деле:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=\oint_{S}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$

Ведь дело в том, что в подынтегральном выражении почти все величины: и $x,y,z,$ и $R_i,$ и $\alpha,\beta,\gamma$ - зависят от точки сферической поверхности. А значит, нельзя их выносить из-под знака интеграла, и заменять оставшееся выражение $\oint_{S}dS$ площадью сферы $4\pi R^2.$

Из-за этой ошибки пошли неверные вычисления везде дальше.

На самом деле, в таком виде этот интеграл вычислять весьма сложно и неудобно. В виде $\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS$ - существенно проще. (По теореме Гаусса, это делается моментально.)

 Профиль  
                  
 
 Просьба оценить корректность вывода и его результата.
Сообщение20.04.2015, 20:40 


28/11/13

64
Здравствуйте, уважаемые участники, посетители и модераторы форума!

Обращаюсь ко всем с предложением и просьбой оценить корректность результата нижеследующей математической выкладки на околофизическую тему.

Итак:

Для того, чтобы определить в фиксированной точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$ суммарное векторное поле системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой сферы радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ ($x,y,z$ – независимые переменные) в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, с результирующей напряженностью

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}$   (1)

вначале определим напряженность электрического поля i-го заряда $q$ системы $m$ одинаковых зарядов в выбранной фиксированной точке рассматриваемой сферической поверхности (см. например, [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971]):

$\vec{E}_{i}=q\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k},$   (2)

где

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=(x-x_{i})\cdot \vec{i}+(y-y_{i})\cdot \vec{j}+(z-z_{i})\cdot \vec{k}$   (3)

есть i-й вектор между i-ым зарядом $q_{i}$ и выбранной точкой $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$.

Исходя из приведенных записей $\vec{E}_{i}$ и $\vec{R}_{i}$, выражение (1) для результирующей напряженности суммарного векторного поля системы $m$ одинаковых зарядов $q_{i}$ запишется так:

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}=q\sum_{i=1}^{m}\left [ \frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k} \right ],$   (4)

а проекция результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ суммарного электрического поля системы равных по величине зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$ на совпадающее с направлением нормали к сферической поверхности $S$ в точке $R(x,y,z)$ направление радиус-вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$, где

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta  \cdot \vec{j}+\cos \gamma  \cdot \vec{k},$   (5)

а $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы (постоянные величины) орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$  (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$   (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\oint_{S}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$   (8)

Откуда

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha\oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}dS + q\cos \beta \oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} dS +q\cos \gamma \oint_{S}\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}dS.$   (10)

Следовательно, при условии постоянства значений величин направляющих косинусов $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ орта $\vec{n}_{R}$, а также с учетом постоянства величины каждого i-го расстояния $\left | R_{i} \right |$, постоянства величин направляющих косинусов $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и фиксированной точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$ а также того факта, что

$\left | R_{i} \right |=\frac{x-x_{i}}{\cos \alpha_{i} }=\frac{y-y_{i}}{\cos \beta_{i} }=\frac{z-z_{i}}{\cos \gamma_{i} },$   (11)

имеем:

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \alpha_{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S}dS + q\cos \beta \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \beta _{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S}  dS +q\cos \gamma \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \gamma_{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S}dS=$
$=q\left (\cos \alpha \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \alpha_{i}}{R_{i}^{2}} + \cos \beta \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \beta _{i}}{R_{i}^{2}} +\cos \gamma \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \gamma_{i}}{R_{i}^{2}}  \right )\oint_{S}dS=$
$=4\pi R^{2}\sum_{i=1}^{m}E_{in}.$   (12)

Поэтому

$K=\oint_{S}E_{n}dS=4\pi R^{2}\sum_{i=1}^{m}E_{in}=$
$=4\pi R^{2} q \left [ \cos \alpha\sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}+ \cos\beta\sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} +\cos \gamma\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\right].$   (13)


Заранее благодарю за внимание к предложению оценить корректность математического вывода окончательного результата (13)!

С уважением, DAP.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба оценить корректность вывода и его результата.
Сообщение24.04.2015, 16:22 


20/03/14
12041
DAP
DAP в сообщении #1006040 писал(а):
Обращаюсь ко всем с предложением и просьбой оценить корректность результата нижеследующей математической выкладки на околофизическую тему.

Вам же проверяли уже.
Тема перемещается по соседству.
 !  Замечание за дублирование темы из Пургатория (Ф).

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.04.2015, 16:23 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение24.04.2015, 18:51 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
 !  Объединил в одну тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение24.04.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Предложение модераторам:

Поскольку ТС выглядит (на мой взгляд), как "добросовестно заблуждающийся", и пытается исправлять свои ошибки, то предлагаю переместить тему в "ПРР(М)", и открыть её для участия ТС в разговоре.

Свой ответ я отправлю позже. (ТС правильно записал (8), но продвинул ошибку только на один шаг вперёд - теперь неверна (10). Надо объяснять, почему величины под интегралом не константы.)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.04.2015, 21:20 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
 i  Тема перемещена из форума «Пургаторий (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: попробуем.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение25.04.2015, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DAP в сообщении #1006040 писал(а):
выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\oint_{S}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$ (8)

Откуда

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha\oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}dS + q\cos \beta \oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} dS +q\cos \gamma \oint_{S}\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}dS.$ (10)

Итак, как я уже сказал, здесь ошибка всего лишь "продвинулась на один шаг". Формула (8) стала правильной, но формула (10) уже опять неверна. Выносить $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ из-под знаков интеграла никак нельзя.

И вас не спасает то, что вы перед этим несколько раз твердите обратное:
    DAP в сообщении #1006040 писал(а):
    ...в фиксированной точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$...
    ...$\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы (постоянные величины) орта $\vec{n}_{R}$...
    ...с учетом постоянства величины каждого i-го расстояния $\left | R_{i} \right |$, постоянства величин направляющих косинусов $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и фиксированной точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$...

Похоже, вы несколько не понимаете, что такое интеграл по поверхности $\displaystyle\oint\limits_{S}E_{n}dS.$ Я поясню. Записывается в учебниках по физике это в довольно компактном виде, а надо пояснить более явно.

Дело в том, что $E_n=\vec{E}\cdot\vec{n}_R=\vec{E}(x,y,z)\cdot\vec{n}_R(x,y,z)$ - функция точки $\vec{R}(x,y,z)$ в пространстве, или иначе - функция трёх действительных переменных $x,y,z.$ Когда говорят, что при вычислении величины $E_n(x,y,z)$ точка $\vec{R}(x,y,z)$ фиксирована, то подразумевают, что она не меняется в процессе вычисления этой величины, и только. После того, как получено окончательное выражение для $E_n(x,y,z),$ оно уже само по себе может быть вычислено в разных точках $\vec{R}(x,y,z),$ лежащих на сферической поверхности $S$ - в каких захочется. Для этого, в это окончательное выражение надо подставить другие величины $x,y,z,$ и вычислить из них другие зависящие от них переменные.

Сами по себе зависящие от $x,y,z$ переменные у вас скрыты под разными буквами. Например, рассмотрим, что такое направляющие косинусы:
$$\begin{gathered}\cos\alpha=\dfrac{x}{R},\quad\cos\beta=\dfrac{y}{R},\quad\cos\gamma=\dfrac{z}{R},\qquad\textit{или с учётом \(R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)}\\\cos\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad\cos\beta=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad\cos\gamma=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\end{gathered}$$ Теперь должно быть ясно, что эти величины - функции трёх переменных $x,y,z.$ Кроме того, посмотрим на знаменатели:
$$\begin{gathered}\vec{R}_i=\vec{R}-\vec{r}_i=(x-x_i)\cdot\vec{\imath}+(y-y_i)\cdot\vec{\jmath}+(z-z_i)\cdot\vec{k}\\
R_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}\end{gathered}$$ - легко видеть, что $R_i$ - это тоже функции точки $\vec{R}(x,y,z).$ Ну, и в числители $x,y,z$ входят в явном виде.

Теперь надо разобраться, что означает интеграл $\displaystyle I=\oint\limits_{S}\ldots dS.$ В этом интеграле подынтегральная функция есть функция точки в пространстве:
$$I=\iint\limits_S f(x,y,z)\,dS.$$ Так что, хотя символически в интеграле записано $dS,$ но фактически интегрирование ведётся по переменным $x,y,z,$ и они меняются в процессе интегрирования. В явном виде для поверхности $z=z(x,y),$ например, выполняется
$$I=\iint\limits_S f(x,y,z)\,dS=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy,$$ где $D$ - проекция поверхности $S$ на плоскость $(x,y).$ [Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, 2003, § 631, формулы (1) и (5), с обозначениями из § 626.] В случае сферы, её нельзя задать целиком как поверхность $z=z(x,y),$ но можно разбить на два куска: верхнюю полусферу и нижнюю полусферу:
$$\begin{gathered}z_\text{верх}=\sqrt{R^2-x^2-y^2},\quad z_\text{низ}=-\sqrt{R^2-x^2-y^2},\\
K=K_\text{верх}+K_\text{низ}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}E_n(x,y,z_\text{верх}(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy+{}\\
{}+\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2} E_n(x,y,z_\text{низ}(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{низ}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{низ}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy={}\\
{}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}\bigl(E_n(x,y,z_\text{верх}(x,y))+E_n(x,y,z_\text{низ}(x,y))\bigr)\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.\end{gathered}$$
И вот тогда уже, вот в эту формулу вы подставляете ваше выражение для $E_n(x,y,z).$ И тогда вам станет ясно, что $x,y,z$ не фиксированы, а пробегают все значения в $x^2+y^2\leqslant R^2$ и $z=z_\text{верх}(x,y),z_\text{низ}(x,y).$ И тогда вы сможете продвинуться дальше в вычислениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение26.04.2015, 19:33 


28/11/13

64
Здравствуйте, уважаемый(ая) Munin!

У меня предложение. Чтобы определить, насколько Вы сами последовательны в собственных поучениях, приведу пример классического случая точечного заряда в центре сферической поверхности, совмещенном с началом прямоугольной декартовой системы координат, когда проекция поля находящегося в центре сферической поверхности точечного заряда на нормаль в ЛЮБОЙ произвольной точке сферы, ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

Дано:

1) Точечный заряд $q$ в центре рассматриваемой сферической поверхности $S$ радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!), совмещенном с началом прямоугольной декартовой системой координат;

2) Напряженность электрического поля точечного заряда $q$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$

$\vec{E}=q\frac{x}{R^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y}{R^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z}{R^{3}}\cdot \vec{k},$;

3) Орт нормали к поверхности $S$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ с направляющими косинусами  $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta  \cdot \vec{j}+\cos \gamma  \cdot \vec{k},$

4) Проекция вектора напряженности поля $\vec{E}$ точечного заряда $q$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$ на направление нормали $ \vec{n}_{R}$ в этой точке при $\left | R \right |=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{y}{\cos \beta }=\frac{z}{\cos \gamma }$ есть скалярное произведение векторов $\vec{E}\cdot \vec{n}_{R}$

$E_{n}=q\left ( \frac{\cos^{2} \alpha}{R^{2}} + \frac{\cos^{2} \beta }{R^{2}} + \frac{\cos^{2} \gamma }{R^{2}} \right )=\frac{q}{R^2}= \operatorname{const}\neq F(x,y,z, \alpha ,\beta ,\gamma )$;

Итак, по определению интеграла необходимо, вычислив проекцию поля на нормаль в любой произвольной точке рассматриваемой сферы $E_{n}= \operatorname{const}$, умножить величину этой проекции на стремящуюся к нулю величину $dS$ и результаты просуммировать:

$K=\oint_{S}\operatorname{const}dS=\operatorname{const}\oint_{S}dS=\operatorname{const}\cdot 4\pi R^{2}$.

Получили в приведенном примере результат, подтверждающий возможность вынесения из-под знака интеграла подынтегральной функции, являющейся константой, несмотря на Ваши заявления

Munin в сообщении #1007646 писал(а):
Надо объяснять, почему величины под интегралом не константы.)

Будьте добры, для изыскания возможности продолжения конструктивной дискуссии с Вами, обоснуйте теперь, используя изложенный Вами в post1007740.html#p1007740 материал, утверждение о том, что для рассмотренного в стартовой теме случая системы одинаковых зарядов внутри сферической поверхности произведение проекции вектора напряженности поля на направление нормали $E_n$ к поверхности на бесконечно малую величину $dS\rightarrow 0$ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ВЕЛИЧИНОЙ ПОСТОЯННОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ сферической поверхности.

С уважением, DAP.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение26.04.2015, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, действительно, получается константа. В других случаях - не константа. Проделаем аналогичные вычисления, когда заряд находится в точке $\vec{r}_q(x_q,y_q,z_q).$ (Обозначения аналогичны вашим в первом сообщении - чтобы вам было легче.)

1) Здесь всё совпадает с вашим п. 1) в post1008272.html#p1008272 .

2) $\vec{E}_q=q\frac{x-x_q}{R_q^3}\cdot\vec{\imath}+q\frac{y-y_q}{R_q^3}\cdot\vec{\jmath}+q\frac{z-z_q}{R_q^3}\cdot\vec{k}$
где
$\vec{R}_q=\vec{R}-\vec{r}_q=(x-x_q)\cdot\vec{\imath}+(y-y_q)\cdot\vec{\jmath}+(z-z_q)\cdot\vec{k}$
есть вектор между зарядом и точкой $\vec{R}(x,y,z)$ сферической поверхности $S.$ Для разных точек поверхности модуль этого вектора
$R_q=\sqrt{(x-x_q)^2+(y-y_q)^2+(z-z_q)^2}$
не постоянен, а меняется по величине.

3) Здесь всё совпадает с вашим п. 3).

4) Не будем плодить обозначений, а заменим $\cos\alpha=x/R,\cos\beta=y/R,\cos\gamma=z/R.$

Итак, будет
$E_n=\vec{E}\cdot\vec{n}_R=q\left(\frac{x^2-x_qx}{R_q^3R}+\frac{y^2-y_qy}{R_q^3R}+\frac{z^2-z_qz}{R_q^3R}\right)\ne\operatorname{const}$
Если угодно, то
$E_n=\frac{q}{R_q^3R}\left(R^2-x_qx-y_qy-z_qz\right)=q\frac{R^2-x_qx-y_qy-z_qz}{R\sqrt{(x-x_q)^2+(y-y_q)^2+(z-z_q)^2}^{\,3}}$
или в векторном виде
$E_n=q\frac{\vec{R}_q\cdot\vec{R}}{R_q^3R}$
Должно быть видно, что эта функция - не константа, а зависит от $x,y,z$ (зависимости от $\alpha,\beta,\gamma$ записывать не надо, поскольку это не отдельные независимые переменные).

И теперь,
$\displaystyle K=\oint\limits_S E_n(x,y,z)\,dS\ne\oint\limits_S\mathrm{const}\,dS=\mathrm{const}\oint\limits_S dS=\mathrm{const}\cdot 4\pi R^2$.
А вычислять $K$ следует, например, так, как показано в моём предыдущем сообщении. И это сделать непросто. Без применения теоремы Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение26.04.2015, 22:39 


28/11/13

64
Munin в сообщении #1008310 писал(а):
В случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, действительно, получается константа. В других случаях - не константа. Проделаем аналогичные вычисления, когда заряд находится в точке $\vec{r}_q(x_q,y_q,z_q).$ (Обозначения аналогичны вашим в первом сообщении - чтобы вам было легче.)
...
$\displaystyle K=\oint\limits_S E_n(x,y,z)\,dS\ne\oint\limits_S\mathrm{const}\,dS=\mathrm{const}\oint\limits_S dS=\mathrm{const}\cdot 4\pi R^2$.
А вычислять $K$ следует, например, так, как показано в моём предыдущем сообщении. И это сделать непросто. Без применения теоремы Гаусса.


Уважаемый (ая) Munin!

Следует ли воспринимать отсутствие вычисления Вами значения величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, как признание того, что величина потока вектора напряженности электрического поля заряда $q$ через рассматриваемую поверхность не зависит от его положения внутри сферической поверхности и ВСЕГДА равна, как и в случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, значению

$\displaystyle K=4\pi q$?

В противном случае приведите, пожалуйста, Ваше выражение величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд $q$ находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, для демонстрации зависимости величины $K$ от положения заряда внутри сферы, отличной от $4\pi q$$. Да, и пример электростатического эксперимента не забудьте, иллюстрирующего подобную зависимость НА ПРАКТИКЕ. Ок?

С уважением, DAP.

 i  profrotter:
Сообщение отредактировано. Причина: убрал избыточное цитирование. Просьба в дальнейшем избегать избыточного цитирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение26.04.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DAP в сообщении #1008339 писал(а):
Следует ли воспринимать отсутствие вычисления Вами значения величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, как признание того, что величина потока вектора напряженности электрического поля заряда $q$ через рассматриваемую поверхность не зависит от его положения внутри сферической поверхности и ВСЕГДА равна, как и в случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, значению

$\displaystyle K=4\pi q$?

Нет, не следует.

Да, я не стал вычислять $K.$
Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$

Но я не стал вычислять $K$ не из-за этого. А из-за того, что я хотел, чтобы вы сами его вычислили (хотя бы постарались), и убедились бы, что это действительно трудно, но приводит к правильному результату, соответствующему теореме Гаусса (то есть, она применима в этом случае). И что теорема Гаусса действительно приносит пользу, значительно сокращая этот труд.

DAP в сообщении #1008339 писал(а):
В противном случае приведите, пожалуйста, Ваше выражение величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд $q$ находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, для демонстрации зависимости величины $K$ от положения заряда внутри сферы, отличной от $4\pi q$$.

$K$ не зависит от положения заряда внутри сферы. Но $E_n(x,y,z)$ - зависит! (И ещё, разумеется, зависит от выбранной точки на сфере.) Так что, выносить из-под интеграла его нельзя, а надо честно интегрировать.

И это как раз легко продемонстрировать на практике электростатическим экспериментом. Можно взять сферу из изолятора, внутри неё на изолирующем держателе переносить маленький заряженный шарик, а на поверхности сферы - измерять электрическое поле. В общем, результат известен: это закон Кулона $E=\dfrac{q}{R_q^2},$ или в проекции на нормальный вектор - $E_n=\dfrac{q(\vec{R_q}\cdot\vec{R})}{R_q^3 R}.$ (Проекцию можно измерить, расположив измерительный прибор в определённой ориентации.)

 Профиль  
                  
 
 Re: В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.
Сообщение27.04.2015, 10:55 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
DAP в сообщении #1008272 писал(а):
Получили в приведенном примере результат, подтверждающий возможность вынесения из-под знака интеграла подынтегральной функции, являющейся константой, несмотря на Ваши заявления


В этом ЧАСТНОМ случае вы вынесли именно константу, но отсюда не следует что в любом другом случае ту же самую величину, которая перестала быть константой, тоже можно вынести. И уж тем более не следует что можно вынести не всю константу, а единственный множитель от нее, константой не являющийся

$\iint \vec{E}(x,y,z) \vec{n}(x,y,z) dS$

В центрально симметричном случае $\vec{E} \cdot \vec{n}$ - константа, но при этом ни $\vec{E}$ ни $\vec{n}$ по отдельности константами не являются. поэтому $\vec{E}(x_0,y_0,z_0) \vec{n}(x_0,y_0,z_0) \iint dS$ записать можно, а вот $\vec{n}(x_0,y_0,z_0) \iint \vec{E}(x,y,z) dS$ уже нельзя ДАЖЕ для центрально симметричного случая.

$\int (3 x) (\frac{1}{x}) dx = (3 x) (\frac{1}{x}) \int dx = 3 \int dx$ - так можно

$\int (3 x) (\frac{1}{x}) dx = (3 x) \int (\frac{1}{x}) dx$ - так нельзя

Вы же сделали сразу две ошибки. 1 - распространили возможность вынести величину, являющуюся константой в центрально симметричном случае, на все другие случаи где она константой не является, проекция поля на нормаль во всех точках сферы в общем случае разная. 2 - вынесли не всю константу а только отдельный множитель от нее, нормаль ("направляющие косинусы") который вообще ни в одном случае кроме плоской поверхности константой не является

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group