Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!
Цель исследования: помочь всем, кто в этом заинтересован, разобраться с перспективами нижеследующего следствия решения задачи отыскания условий применимости
электростатической теоремы Гаусса для определения потока вектора результирующей напряженности суммарного электрического поля
системы равных по величине электрических зарядов.
Итак,
постановка задачи: Установить условия применимости
электростатической теоремы Гаусса для определения потока
результирующего вектора
напряженности суммарного электрического поля системы
равных по величине электрических зарядов
, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой сферической поверхности
радиуса
(
– независимые переменные) в точку с постоянными координатами
.
Решение. Для того, чтобы определить суммарное векторное поле системы
равных по величине электрических зарядов
, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой поверхности
в точку с постоянными координатами
, с результирующей напряженностью
сначала определим напряженность электрического поля
i-го заряда
системы
одинаковых зарядов в точке
рассматриваемой сферической поверхности (см. например, [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971, гл. IX, #3, “Теория поля”]):
где
есть
i-й вектор между
i-ым зарядом
и точкой
сферической поверхности
.
Исходя из приведенных записей
и
, выражение (1) для результирующей напряженности суммарного векторного поля системы
одинаковых зарядов
запишется так:
а проекция результирующего вектора напряженности
суммарного электрического поля системы равных по величине зарядов
на совпадающее с направлением нормали к сферической поверхности
в точке
направление радиус-вектора
, где
а
– направляющие косинусы орта
, выразится следующим образом
Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей
электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]
выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой
одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности
электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:
Так как для рассматриваемой системы
равных по величине зарядов
, то очевидно, что необходимым условием справедливости применения электростатической теоремы Гаусса в данном случае является тождественность выражений (7) и (8)
или выполнение тождества
Так как
где
– направляющие косинусы орта
i-го вектора между
i-ым зарядом
и точкой сферической поверхности
то, после домножения правой и левой частей уравнения (10) на единичный вектор
получаем выражение
которое справедливо только при тождественности соответствующих компонентов векторов правой и левой его частей, а именно при:
В итоге, учитывая тот факт, что
где
– угол между векторами
и
, а также используя справочное определение косинуса угла между двумя векторами
где (см. (14) и (15))
выведем окончательно основное математическое следствие применения электростатической теоремы Гаусса в рассматриваемом случае.
Итак, из (14)-(17) следует, что
а значит
откуда
которое приводит к следующей записи величины косинуса угла между векторами
и
:
Решением системы уравнений (17) и (21) является:
а так как
то, при записи выражения (21) на основании (22) в виде
приходим, на основании (23) и (24), к закономерному следствию применения электростатической теоремы Гаусса для определения потока через сферическую поверхность
результирующего вектора напряженности суммарного электрического поля системы
равных по величине электрических зарядов, лежащих внутри рассматриваемой поверхности:
заявляющему
о единственности математического условия выполнения записи (15) скалярного произведения векторов и
и которое формулируется следующим образом:
применение электростатической теоремы Гаусса для решения рассматриваемой задачи правомерно тогда и только тогда, когда направление
i-го вектора
между
i-ым зарядом
и точкой сферической поверхности
совпадает с направлением вектора
(то есть только тогда,
когда все i-е заряды расположены на радиус-векторе ), а, значит, когда угол между
любым вектором
и направлением
равен нулю
причем само данное направление, определяемое направляющими косинусами ортов
и
является единственным.
Всем, кто заинтересован разобраться с перспективами подобного результата решения данной задачи, просьба оставлять конструктивные комментарии.
С уважением, DAP.