В помощь желающим разобраться с результатом решения задачи.

[DAP]

Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!

Цель исследования: помочь всем, кто в этом заинтересован, разобраться с перспективами нижеследующего следствия решения задачи отыскания условий применимости электростатической теоремы Гаусса для определения потока вектора результирующей напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов.

Итак, постановка задачи: Установить условия применимости электростатической теоремы Гаусса для определения потока $K$ результирующего вектора $\vec{E}$ напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой сферической поверхности $S$ радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ ($x,y,z$ – независимые переменные) в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$.

Решение. Для того, чтобы определить суммарное векторное поле системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой поверхности $S$ в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, с результирующей напряженностью

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}$ (1)

сначала определим напряженность электрического поля i-го заряда $q$ системы $m$ одинаковых зарядов в точке $R(x,y,z)$ рассматриваемой сферической поверхности (см. например, [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971, гл. IX, #3, “Теория поля”]):

$\vec{E}_{i}=q\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k},$ (2)

где

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=(x-x_{i})\cdot \vec{i}+(y-y_{i})\cdot \vec{j}+(z-z_{i})\cdot \vec{k}$ (3)

есть i-й вектор между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$.

Исходя из приведенных записей $\vec{E}_{i}$ и $\vec{R}_{i}$, выражение (1) для результирующей напряженности суммарного векторного поля системы $m$ одинаковых зарядов $q_{i}$ запишется так:

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}=q\sum_{i=1}^{m}\left [ \frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k} \right ],$ (4)

а проекция результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ суммарного электрического поля системы равных по величине зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$ на совпадающее с направлением нормали к сферической поверхности $S$ в точке $R(x,y,z)$ направление радиус-вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$, где

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k},$ (5)

а $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$ (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=4\pi R^{2}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (8)

Так как для рассматриваемой системы $m$ равных по величине зарядов $\sum q_{i}=mq$, то очевидно, что необходимым условием справедливости применения электростатической теоремы Гаусса в данном случае является тождественность выражений (7) и (8)

$4\pi q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )R^{2} \cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right ) R^{2} \cos \beta +\left (\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )R^{2} \cos \gamma \right ]=$
$=4\pi mq,$ (9)

или выполнение тождества

$\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \alpha +\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \beta +\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}R^{2} \cos \gamma =1.$ (10)

Так как

$\left | R \right |=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{y}{\cos \beta }=\frac{z}{\cos \gamma };\left | R_{i} \right |=\frac{x-x_{i}}{\cos \alpha_{i} }=\frac{y-y_{i}}{\cos \beta_{i} }=\frac{z-z_{i}}{\cos \gamma_{i} },$ (11)

где $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=R_{i}\vec{n}_{i}=R_{i}(\cos \alpha_{i}\cdot \vec{i}+\cos \beta_{i}\cdot \vec{j}+\cos \gamma_{i}\cdot \vec{k}),$ (12)

то, после домножения правой и левой частей уравнения (10) на единичный вектор $\vec{n}_{i}=\cos \alpha_{i}\cdot \vec{i}+\cos \beta_{i}\cdot \vec{j}+\cos \gamma_{i}\cdot \vec{k}$ получаем выражение

$\frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \alpha _{i}\cos ^{2}\alpha +\frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \beta _{i}\cos ^{2}\beta+ \frac{R^{2}}{R_{i}^{2}}\cos \gamma _{i}\cos ^{2}\gamma= $
$=\cos \alpha\cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k},$ (13)

которое справедливо только при тождественности соответствующих компонентов векторов правой и левой его частей, а именно при:

$\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}}=\cos \alpha _{i}\cos\alpha=\cos \beta _{i}\cos \beta=\cos \gamma _{i}\cos \gamma.$ (14)

В итоге, учитывая тот факт, что

$\vec{R}_{i}\cdot \vec{R}=(R_{i}\cdot R)(\vec{n}_{i}\cdot \vec{n}_{R})=(R_{i}\cdot R)(\cos \alpha _{i}\cos\alpha+\cos \beta _{i}\cos \beta+\cos \gamma _{i}\cos \gamma)=$
$=(R_{i}\cdot R)\cos \lambda_{i},$ (15)

где \lambda_{i}$ – угол между векторами $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$, а также используя справочное определение косинуса угла между двумя векторами

$\frac{(x-x_{i})x+(y-y_{i})y+(z-z_{i})z}{(R_{i}\cdot R)}=\cos \lambda _{i}\Rightarrow \cos \lambda _{i}=3\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}},$ (16)

где (см. (14) и (15))

$\cos \lambda _{i}=3\frac{R_{i}^{2}}{R^{2}}=3\cos \alpha _{i}\cos\alpha=3\cos \beta _{i}\cos \beta=3\cos \gamma _{i}\cos \gamma,$ (17)

выведем окончательно основное математическое следствие применения электростатической теоремы Гаусса в рассматриваемом случае.

Итак, из (14)-(17) следует, что

$x^{2}\frac{\cos \alpha _{i}}{\cos \alpha }=y^{2}\frac{\cos \beta _{i}}{\cos \beta }=z^{2}\frac{\cos \gamma _{i}}{\cos \gamma}=R_{i}^{2},$ (18)

а значит

$R_{i}^{2}\left (\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha_{i} }+\frac{\cos \beta }{\cos \beta_{i} }+\frac{\cos \gamma }{\cos \gamma_{i}} \right )=R^{2},$ (19)

откуда

$\cos \lambda _{i}\left (\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha_{i} }+\frac{\cos \beta }{\cos \beta_{i} }+\frac{\cos \gamma }{\cos \gamma_{i}} \right )=3,$ (20)

которое приводит к следующей записи величины косинуса угла между векторами $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$:

$\cos \lambda _{i}=\frac{\cos\alpha_{i}}{\cos \alpha}=\frac{\cos\beta_{i} }{\cos \beta}=\frac{\cos \gamma_{i} }{\cos \gamma}.$ (21)

Решением системы уравнений (17) и (21) является:

$\cos \alpha=\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}},$ (22)

а так как

$\cos^{2}\alpha_{i}+\cos^{2} \beta_{i}+ \cos^{2} \gamma_{i}=1,$ (23)

то, при записи выражения (21) на основании (22) в виде

$\frac{\cos \lambda _{i}}{\sqrt{3}}=\cos \alpha _{i}=\cos\beta_{i}=\cos\gamma _{i},$ (24)

приходим, на основании (23) и (24), к закономерному следствию применения электростатической теоремы Гаусса для определения потока через сферическую поверхность $S$ результирующего вектора напряженности суммарного электрического поля системы $m$ равных по величине электрических зарядов, лежащих внутри рассматриваемой поверхности:

$\cos \alpha _{i}=\cos\beta_{i}=\cos\gamma _{i}=\frac{1}{\sqrt{3}},$ (25)

заявляющему о единственности математического условия выполнения записи (15) скалярного произведения векторов $\vec{R}_{i}$ и $\vec{R}$ и которое формулируется следующим образом:

применение электростатической теоремы Гаусса для решения рассматриваемой задачи правомерно тогда и только тогда, когда направление i-го вектора $\vec{R}_{i}=R_{i}\vec{n}_{i}$ между i-ым зарядом $q_{i}$ и точкой сферической поверхности $R(x, y, z)$ совпадает с направлением вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$ (то есть только тогда, когда все i-е заряды расположены на радиус-векторе $\vec{R}$), а, значит, когда угол между любым вектором $\vec{R}_{i}$ и направлением $ \vec{n}_{R}$ равен нулю

$\cos \lambda _{i}=1\Rightarrow \lambda _{i}=0,$ (26)

причем само данное направление, определяемое направляющими косинусами ортов $\vec{n}_{R}$ и $\vec{n}_{i}$

$\cos \alpha _{i}=\cos\beta _{i}=\cos \gamma _{i}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\cos \alpha=\cos\beta=\cos \gamma,$ (27)

является единственным.

Всем, кто заинтересован разобраться с перспективами подобного результата решения данной задачи, просьба оставлять конструктивные комментарии.

С уважением, DAP.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: долго думал, в Карантин или сразу в Пургаторий. По-видимому, все-таки второе.

[Munin]

DAP в сообщении #1005688 писал(а):

...$\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$ (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=4\pi R^{2}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (8)

В формуле (8) куда-то интеграл делся. На самом деле:

$K=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=$
$=\oint_{S}q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$

Ведь дело в том, что в подынтегральном выражении почти все величины: и $x,y,z,$ и $R_i,$ и $\alpha,\beta,\gamma$ - зависят от точки сферической поверхности. А значит, нельзя их выносить из-под знака интеграла, и заменять оставшееся выражение $\oint_{S}dS$ площадью сферы $4\pi R^2.$

Из-за этой ошибки пошли неверные вычисления везде дальше.

На самом деле, в таком виде этот интеграл вычислять весьма сложно и неудобно. В виде $\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS$ - существенно проще. (По теореме Гаусса, это делается моментально.)

[DAP]

Здравствуйте, уважаемые участники, посетители и модераторы форума!

Обращаюсь ко всем с предложением и просьбой оценить корректность результата нижеследующей математической выкладки на околофизическую тему.

Итак:

Для того, чтобы определить в фиксированной точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$ суммарное векторное поле системы $m$ равных по величине электрических зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$, каждый из которых помещен внутри рассматриваемой сферы радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ ($x,y,z$ – независимые переменные) в точку с постоянными координатами $r_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, с результирующей напряженностью

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}$ (1)

вначале определим напряженность электрического поля i-го заряда $q$ системы $m$ одинаковых зарядов в выбранной фиксированной точке рассматриваемой сферической поверхности (см. например, [А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1971]):

$\vec{E}_{i}=q\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k},$ (2)

где

$\vec{R}_{i}=\vec{R}-\vec{r}_{i}=(x-x_{i})\cdot \vec{i}+(y-y_{i})\cdot \vec{j}+(z-z_{i})\cdot \vec{k}$ (3)

есть i-й вектор между i-ым зарядом $q_{i}$ и выбранной точкой $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$.

Исходя из приведенных записей $\vec{E}_{i}$ и $\vec{R}_{i}$, выражение (1) для результирующей напряженности суммарного векторного поля системы $m$ одинаковых зарядов $q_{i}$ запишется так:

$\vec{E}=\sum_{i=1}^{m}\vec{E}_{i}=q\sum_{i=1}^{m}\left [ \frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\cdot \vec{k} \right ],$ (4)

а проекция результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ суммарного электрического поля системы равных по величине зарядов $q_{1},q_{2},...q_{i}$ на совпадающее с направлением нормали к сферической поверхности $S$ в точке $R(x,y,z)$ направление радиус-вектора $\vec{R}=R\vec{n}_{R}$, где

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k},$ (5)

а $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы (постоянные величины) орта $\vec{n}_{R}$, выразится следующим образом

$E_{n}=\sum_{i=1}^{m}E_{in}=\sum_{i=1}^{m}\left ( \vec{E}_{i}\cdot \vec{n}_{R} \right )=$
$=q\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ].$ (6)

Используя выражение (6) и классическую формулировку «играющей важную роль в изучении электрических полей электростатической теоремы Гаусса» [см. там же]

$K=\oint_{S}E_{n}dS=\sum_{i=1}^{m}\oint_{S}E_{in}dS=4\pi \sum q_{i},$ (7)

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\oint_{S}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$ (8)

Откуда

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha\oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}dS + q\cos \beta \oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} dS +q\cos \gamma \oint_{S}\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}dS.$ (10)

Следовательно, при условии постоянства значений величин направляющих косинусов $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ орта $\vec{n}_{R}$, а также с учетом постоянства величины каждого i-го расстояния $\left | R_{i} \right |$, постоянства величин направляющих косинусов $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и фиксированной точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$ а также того факта, что

$\left | R_{i} \right |=\frac{x-x_{i}}{\cos \alpha_{i} }=\frac{y-y_{i}}{\cos \beta_{i} }=\frac{z-z_{i}}{\cos \gamma_{i} },$ (11)

имеем:

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \alpha_{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S}dS + q\cos \beta \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \beta _{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S} dS +q\cos \gamma \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \gamma_{i}}{R_{i}^{2}}\oint_{S}dS=$
$=q\left (\cos \alpha \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \alpha_{i}}{R_{i}^{2}} + \cos \beta \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \beta _{i}}{R_{i}^{2}} +\cos \gamma \sum_{i=1}^{m}\frac{\cos \gamma_{i}}{R_{i}^{2}} \right )\oint_{S}dS=$
$=4\pi R^{2}\sum_{i=1}^{m}E_{in}.$ (12)

Поэтому

$K=\oint_{S}E_{n}dS=4\pi R^{2}\sum_{i=1}^{m}E_{in}=$
$=4\pi R^{2} q \left [ \cos \alpha\sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}+ \cos\beta\sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} +\cos \gamma\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}\right].$ (13)


Заранее благодарю за внимание к предложению оценить корректность математического вывода окончательного результата (13)!

С уважением, DAP.

[Lia]

DAP

DAP в сообщении #1006040 писал(а):

Обращаюсь ко всем с предложением и просьбой оценить корректность результата нижеследующей математической выкладки на околофизическую тему.

Вам же проверяли уже.
Тема перемещается по соседству.

Замечание за дублирование темы из Пургатория (Ф).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (Ф)»

[profrotter]

Объединил в одну тему.

[Munin]

Предложение модераторам:

Поскольку ТС выглядит (на мой взгляд), как "добросовестно заблуждающийся", и пытается исправлять свои ошибки, то предлагаю переместить тему в "ПРР(М)", и открыть её для участия ТС в разговоре.

Свой ответ я отправлю позже. (ТС правильно записал (8), но продвинул ошибку только на один шаг вперёд - теперь неверна (10). Надо объяснять, почему величины под интегралом не константы.)

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Пургаторий (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: попробуем.

[Munin]

DAP в сообщении #1006040 писал(а):

выпишем выражение для результирующего потока суммарного вектора поля электрической напряженности, создаваемого системой $m$ одинаковых и лежащих внутри сферической поверхности $S$ электрических зарядов, через рассматриваемую поверхность:

$K=\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\oint_{S}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \alpha + \left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \beta +\left ( \sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}} \right )\cos \gamma \right ]dS.$ (8)

Откуда

$\oint_{S}E_{n}dS=$
$=q\cos \alpha\oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{x-x_{i}}{R_{i}^{3}}dS + q\cos \beta \oint_{S} \sum_{i=1}^{m}\frac{y-y_{i}}{R_{i}^{3}} dS +q\cos \gamma \oint_{S}\sum_{i=1}^{m}\frac{z-z_{i}}{R_{i}^{3}}dS.$ (10)

Итак, как я уже сказал, здесь ошибка всего лишь "продвинулась на один шаг". Формула (8) стала правильной, но формула (10) уже опять неверна. Выносить $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ из-под знаков интеграла никак нельзя.

И вас не спасает то, что вы перед этим несколько раз твердите обратное:

DAP в сообщении #1006040 писал(а):

...в фиксированной точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$...
...$\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$ – направляющие косинусы (постоянные величины) орта $\vec{n}_{R}$...
...с учетом постоянства величины каждого i-го расстояния $\left | R_{i} \right |$, постоянства величин направляющих косинусов $\cos \alpha_{i},\cos \beta_{i},\cos \gamma_{i}$ орта $\vec{n}_{i}$ i-го вектора между i-ым зарядом $q_{i}$ и фиксированной точкой сферической поверхности $R(x,y,z)$...

Похоже, вы несколько не понимаете, что такое интеграл по поверхности $\displaystyle\oint\limits_{S}E_{n}dS.$ Я поясню. Записывается в учебниках по физике это в довольно компактном виде, а надо пояснить более явно.

Дело в том, что $E_n=\vec{E}\cdot\vec{n}_R=\vec{E}(x,y,z)\cdot\vec{n}_R(x,y,z)$ - функция точки $\vec{R}(x,y,z)$ в пространстве, или иначе - функция трёх действительных переменных $x,y,z.$ Когда говорят, что при вычислении величины $E_n(x,y,z)$ точка $\vec{R}(x,y,z)$ фиксирована, то подразумевают, что она не меняется в процессе вычисления этой величины, и только. После того, как получено окончательное выражение для $E_n(x,y,z),$ оно уже само по себе может быть вычислено в разных точках $\vec{R}(x,y,z),$ лежащих на сферической поверхности $S$ - в каких захочется. Для этого, в это окончательное выражение надо подставить другие величины $x,y,z,$ и вычислить из них другие зависящие от них переменные.

Сами по себе зависящие от $x,y,z$ переменные у вас скрыты под разными буквами. Например, рассмотрим, что такое направляющие косинусы:

$$\begin{gathered}\cos\alpha=\dfrac{x}{R},\quad\cos\beta=\dfrac{y}{R},\quad\cos\gamma=\dfrac{z}{R},\qquad\textit{или с учётом \(R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)}\\\cos\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad\cos\beta=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad\cos\gamma=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\end{gathered}$$

Теперь должно быть ясно, что эти величины - функции трёх переменных $x,y,z.$ Кроме того, посмотрим на знаменатели:

$$\begin{gathered}\vec{R}_i=\vec{R}-\vec{r}_i=(x-x_i)\cdot\vec{\imath}+(y-y_i)\cdot\vec{\jmath}+(z-z_i)\cdot\vec{k}\\ R_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}\end{gathered}$$

- легко видеть, что $R_i$ - это тоже функции точки $\vec{R}(x,y,z).$ Ну, и в числители $x,y,z$ входят в явном виде.

Теперь надо разобраться, что означает интеграл $\displaystyle I=\oint\limits_{S}\ldots dS.$ В этом интеграле подынтегральная функция есть функция точки в пространстве:

$$I=\iint\limits_S f(x,y,z)\,dS.$$

Так что, хотя символически в интеграле записано $dS,$ но фактически интегрирование ведётся по переменным $x,y,z,$ и они меняются в процессе интегрирования. В явном виде для поверхности $z=z(x,y),$ например, выполняется

$$I=\iint\limits_S f(x,y,z)\,dS=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy,$$

где $D$ - проекция поверхности $S$ на плоскость $(x,y).$ [Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, 2003, § 631, формулы (1) и (5), с обозначениями из § 626.] В случае сферы, её нельзя задать целиком как поверхность $z=z(x,y),$ но можно разбить на два куска: верхнюю полусферу и нижнюю полусферу:

$$\begin{gathered}z_\text{верх}=\sqrt{R^2-x^2-y^2},\quad z_\text{низ}=-\sqrt{R^2-x^2-y^2},\\ K=K_\text{верх}+K_\text{низ}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}E_n(x,y,z_\text{верх}(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy+{}\\ {}+\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2} E_n(x,y,z_\text{низ}(x,y))\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{низ}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{низ}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy={}\\ {}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}\bigl(E_n(x,y,z_\text{верх}(x,y))+E_n(x,y,z_\text{низ}(x,y))\bigr)\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_\text{верх}}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.\end{gathered}$$

И вот тогда уже, вот в эту формулу вы подставляете ваше выражение для $E_n(x,y,z).$ И тогда вам станет ясно, что $x,y,z$ не фиксированы, а пробегают все значения в $x^2+y^2\leqslant R^2$ и $z=z_\text{верх}(x,y),z_\text{низ}(x,y).$ И тогда вы сможете продвинуться дальше в вычислениях.

[DAP]

Здравствуйте, уважаемый(ая) Munin!

У меня предложение. Чтобы определить, насколько Вы сами последовательны в собственных поучениях, приведу пример классического случая точечного заряда в центре сферической поверхности, совмещенном с началом прямоугольной декартовой системы координат, когда проекция поля находящегося в центре сферической поверхности точечного заряда на нормаль в ЛЮБОЙ произвольной точке сферы, ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

Дано:

1) Точечный заряд $q$ в центре рассматриваемой сферической поверхности $S$ радиуса $\left | R \right |=\left | \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right |=\operatorname{const}$ (ЧИСЛО!), совмещенном с началом прямоугольной декартовой системой координат;

2) Напряженность электрического поля точечного заряда $q$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$

$\vec{E}=q\frac{x}{R^{3}}\cdot \vec{i}+q\frac{y}{R^{3}}\cdot \vec{j}+q\frac{z}{R^{3}}\cdot \vec{k},$;

3) Орт нормали к поверхности $S$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ с направляющими косинусами  $\cos \alpha, \cos \beta ,\cos \gamma$

$\vec{n}_{R}=\cos \alpha \cdot \vec{i}+\cos \beta \cdot \vec{j}+\cos \gamma \cdot \vec{k},$

4) Проекция вектора напряженности поля $\vec{E}$ точечного заряда $q$ в ЛЮБОЙ точке $R(x,y,z)$ сферической поверхности $S$ на направление нормали $ \vec{n}_{R}$ в этой точке при $\left | R \right |=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{y}{\cos \beta }=\frac{z}{\cos \gamma }$ есть скалярное произведение векторов $\vec{E}\cdot \vec{n}_{R}$

$E_{n}=q\left ( \frac{\cos^{2} \alpha}{R^{2}} + \frac{\cos^{2} \beta }{R^{2}} + \frac{\cos^{2} \gamma }{R^{2}} \right )=\frac{q}{R^2}= \operatorname{const}\neq F(x,y,z, \alpha ,\beta ,\gamma )$;

Итак, по определению интеграла необходимо, вычислив проекцию поля на нормаль в любой произвольной точке рассматриваемой сферы $E_{n}= \operatorname{const}$, умножить величину этой проекции на стремящуюся к нулю величину $dS$ и результаты просуммировать:

$K=\oint_{S}\operatorname{const}dS=\operatorname{const}\oint_{S}dS=\operatorname{const}\cdot 4\pi R^{2}$.

Получили в приведенном примере результат, подтверждающий возможность вынесения из-под знака интеграла подынтегральной функции, являющейся константой, несмотря на Ваши заявления

Munin в сообщении #1007646 писал(а):

Надо объяснять, почему величины под интегралом не константы.)

Будьте добры, для изыскания возможности продолжения конструктивной дискуссии с Вами, обоснуйте теперь, используя изложенный Вами в post1007740.html#p1007740 материал, утверждение о том, что для рассмотренного в стартовой теме случая системы одинаковых зарядов внутри сферической поверхности произведение проекции вектора напряженности поля на направление нормали $E_n$ к поверхности на бесконечно малую величину $dS\rightarrow 0$ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ВЕЛИЧИНОЙ ПОСТОЯННОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ сферической поверхности.

С уважением, DAP.

[Munin]

В случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, действительно, получается константа. В других случаях - не константа. Проделаем аналогичные вычисления, когда заряд находится в точке $\vec{r}_q(x_q,y_q,z_q).$ (Обозначения аналогичны вашим в первом сообщении - чтобы вам было легче.)

1) Здесь всё совпадает с вашим п. 1) в post1008272.html#p1008272 .

2) $\vec{E}_q=q\frac{x-x_q}{R_q^3}\cdot\vec{\imath}+q\frac{y-y_q}{R_q^3}\cdot\vec{\jmath}+q\frac{z-z_q}{R_q^3}\cdot\vec{k}$
где
$\vec{R}_q=\vec{R}-\vec{r}_q=(x-x_q)\cdot\vec{\imath}+(y-y_q)\cdot\vec{\jmath}+(z-z_q)\cdot\vec{k}$
есть вектор между зарядом и точкой $\vec{R}(x,y,z)$ сферической поверхности $S.$ Для разных точек поверхности модуль этого вектора
$R_q=\sqrt{(x-x_q)^2+(y-y_q)^2+(z-z_q)^2}$
не постоянен, а меняется по величине.

3) Здесь всё совпадает с вашим п. 3).

4) Не будем плодить обозначений, а заменим $\cos\alpha=x/R,\cos\beta=y/R,\cos\gamma=z/R.$

Итак, будет
$E_n=\vec{E}\cdot\vec{n}_R=q\left(\frac{x^2-x_qx}{R_q^3R}+\frac{y^2-y_qy}{R_q^3R}+\frac{z^2-z_qz}{R_q^3R}\right)\ne\operatorname{const}$
Если угодно, то
$E_n=\frac{q}{R_q^3R}\left(R^2-x_qx-y_qy-z_qz\right)=q\frac{R^2-x_qx-y_qy-z_qz}{R\sqrt{(x-x_q)^2+(y-y_q)^2+(z-z_q)^2}^{\,3}}$
или в векторном виде
$E_n=q\frac{\vec{R}_q\cdot\vec{R}}{R_q^3R}$
Должно быть видно, что эта функция - не константа, а зависит от $x,y,z$ (зависимости от $\alpha,\beta,\gamma$ записывать не надо, поскольку это не отдельные независимые переменные).

И теперь,
$\displaystyle K=\oint\limits_S E_n(x,y,z)\,dS\ne\oint\limits_S\mathrm{const}\,dS=\mathrm{const}\oint\limits_S dS=\mathrm{const}\cdot 4\pi R^2$.
А вычислять $K$ следует, например, так, как показано в моём предыдущем сообщении. И это сделать непросто. Без применения теоремы Гаусса.

[DAP]

Munin в сообщении #1008310 писал(а):

В случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, действительно, получается константа. В других случаях - не константа. Проделаем аналогичные вычисления, когда заряд находится в точке $\vec{r}_q(x_q,y_q,z_q).$ (Обозначения аналогичны вашим в первом сообщении - чтобы вам было легче.)
...
$\displaystyle K=\oint\limits_S E_n(x,y,z)\,dS\ne\oint\limits_S\mathrm{const}\,dS=\mathrm{const}\oint\limits_S dS=\mathrm{const}\cdot 4\pi R^2$.
А вычислять $K$ следует, например, так, как показано в моём предыдущем сообщении. И это сделать непросто. Без применения теоремы Гаусса.

Уважаемый (ая) Munin!

Следует ли воспринимать отсутствие вычисления Вами значения величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, как признание того, что величина потока вектора напряженности электрического поля заряда $q$ через рассматриваемую поверхность не зависит от его положения внутри сферической поверхности и ВСЕГДА равна, как и в случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, значению

$\displaystyle K=4\pi q$?

В противном случае приведите, пожалуйста, Ваше выражение величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд $q$ находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, для демонстрации зависимости величины $K$ от положения заряда внутри сферы, отличной от $4\pi q$$. Да, и пример электростатического эксперимента не забудьте, иллюстрирующего подобную зависимость НА ПРАКТИКЕ. Ок?

С уважением, DAP.

profrotter:
Сообщение отредактировано. Причина: убрал избыточное цитирование. Просьба в дальнейшем избегать избыточного цитирования.

[Munin]

DAP в сообщении #1008339 писал(а):

Следует ли воспринимать отсутствие вычисления Вами значения величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, как признание того, что величина потока вектора напряженности электрического поля заряда $q$ через рассматриваемую поверхность не зависит от его положения внутри сферической поверхности и ВСЕГДА равна, как и в случае, когда заряд расположен точно в центре сферы, значению

$\displaystyle K=4\pi q$?

Нет, не следует.

Да, я не стал вычислять $K.$
Да, $K$ для заряда внутри сферы всегда равен $4\pi q.$

Но я не стал вычислять $K$ не из-за этого. А из-за того, что я хотел, чтобы вы сами его вычислили (хотя бы постарались), и убедились бы, что это действительно трудно, но приводит к правильному результату, соответствующему теореме Гаусса (то есть, она применима в этом случае). И что теорема Гаусса действительно приносит пользу, значительно сокращая этот труд.

DAP в сообщении #1008339 писал(а):

В противном случае приведите, пожалуйста, Ваше выражение величины потока $K$ вектора поля $\vec{E}_q$ через сферическую поверхность $S$ для случая, когда единственный точечный заряд $q$ находится внутри сферы, но его положение не совпадает с ее центром, для демонстрации зависимости величины $K$ от положения заряда внутри сферы, отличной от $4\pi q$$.

$K$ не зависит от положения заряда внутри сферы. Но $E_n(x,y,z)$ - зависит! (И ещё, разумеется, зависит от выбранной точки на сфере.) Так что, выносить из-под интеграла его нельзя, а надо честно интегрировать.

И это как раз легко продемонстрировать на практике электростатическим экспериментом. Можно взять сферу из изолятора, внутри неё на изолирующем держателе переносить маленький заряженный шарик, а на поверхности сферы - измерять электрическое поле. В общем, результат известен: это закон Кулона $E=\dfrac{q}{R_q^2},$ или в проекции на нормальный вектор - $E_n=\dfrac{q(\vec{R_q}\cdot\vec{R})}{R_q^3 R}.$ (Проекцию можно измерить, расположив измерительный прибор в определённой ориентации.)

[rustot]

DAP в сообщении #1008272 писал(а):

Получили в приведенном примере результат, подтверждающий возможность вынесения из-под знака интеграла подынтегральной функции, являющейся константой, несмотря на Ваши заявления

В этом ЧАСТНОМ случае вы вынесли именно константу, но отсюда не следует что в любом другом случае ту же самую величину, которая перестала быть константой, тоже можно вынести. И уж тем более не следует что можно вынести не всю константу, а единственный множитель от нее, константой не являющийся

$\iint \vec{E}(x,y,z) \vec{n}(x,y,z) dS$

В центрально симметричном случае $\vec{E} \cdot \vec{n}$ - константа, но при этом ни $\vec{E}$ ни $\vec{n}$ по отдельности константами не являются. поэтому $\vec{E}(x_0,y_0,z_0) \vec{n}(x_0,y_0,z_0) \iint dS$ записать можно, а вот $\vec{n}(x_0,y_0,z_0) \iint \vec{E}(x,y,z) dS$ уже нельзя ДАЖЕ для центрально симметричного случая.

$\int (3 x) (\frac{1}{x}) dx = (3 x) (\frac{1}{x}) \int dx = 3 \int dx$ - так можно

$\int (3 x) (\frac{1}{x}) dx = (3 x) \int (\frac{1}{x}) dx$ - так нельзя

Вы же сделали сразу две ошибки. 1 - распространили возможность вынести величину, являющуюся константой в центрально симметричном случае, на все другие случаи где она константой не является, проекция поля на нормаль во всех точках сферы в общем случае разная. 2 - вынесли не всю константу а только отдельный множитель от нее, нормаль ("направляющие косинусы") который вообще ни в одном случае кроме плоской поверхности константой не является