2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Ох-ох-оюшки. Что-то мы друг друга то ли не понимаем, то ли не слышим. Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$ и $a^+$, поскольку, у первого собственным значением будет любое комплексное число, а у второго их вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:14 
Заморожен


24/06/14
358
Ах, да. Теперь вспомнил. Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:

$a|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$

$a^{+}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

Их матрицы недиагональны и никаких собственных чисел для них, конечно, не ввести.

Однако что не справедливого в том, чтобы сказать, что при произвольном преобразовании $(P,Q)$ они могут потерять смысл операторов рождения и уничтожения, соответствующих реальному полю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:21 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
amon в сообщении #1004020 писал(а):
Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$
Да ладно! Когерентные состояния. :mrgreen:
Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):
Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:
Вы кинжал обронили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:29 
Заморожен


24/06/14
358
Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):
amon в сообщении #1004020 писал(а):
Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$
Да ладно! Когерентные состояния. :mrgreen:
Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):
Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:
Вы кинжал обронили.


Крестик всмысле?

-- 15.04.2015, 02:40 --

Я когерентными состояниями еще в самом начале изучения КМ заинтересовался, когда пытался разобраться в минимуме соотношения неопределенностей. Скачал сборник статей под редакцией Манько, а потом один человек посоветовал мне заняться вещами посерьезнее. Я его послушал, а зря. Похоже это именно то, что мне следует почитать для того, чтобы разобраться со своей несчастной задачей. А что сразу не посоветовали?
Я так понимаю, что там все как и я квадратичные гамильтонианы считают божественной сущностью :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):
Да ладно! Когерентные состояния.

Нельзя в смысле можно, но толку - чуть. Я на вскидку придумаю очень много операторов, спектром которых будет любое комплексное число.
Kirill_Sal,
открывайте-ка Вы учебник по квантовой механике (рекомендую для начала Киселева и Фаддеева) и читайте там про лестничные операторы, когерентные состояния, представление чисел заполнения, - глядишь, и все "глубокомысленные" вопросы сами рассосутся. Манько с Переломовым пока не трогайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 04:18 
Заморожен


24/06/14
358
Это не такая уж и "глубокомысленная" задача. Не знаю, что насчет связи калибровочной инвариантности и этих операторов, но если Вы мне не верите насчет связи однородности и сохранения числа виртуальных частиц, то см. книгу Фейнмана (я уже указывал какие страницы).
Фадеев вроде математикам писал книгу? КМ я кстати не по Википедии изучаю. Вообще, вторичное квантование - это не самая простая вещь и скорее относится к КТП, к которой я начинаю подготавливаться. Иногда полезно вконец запутаться в каком-то вопросе, а лишь потом прочитать, что сказано в учебнике. Как родное потом становится, честное слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 13:41 


10/03/07
480
Москва
Если же подходить более общо, то гамильтониан в магнитном поле --- квадратичный. Такой гамильтониан можно линейным каноническим (то есть сохраняющим коммутаторы) преобразованием привести к нормальной форме. Нормальные формы перечислены, например, у Арнольда в "Математических методах классической механики", дополнение 6. В данном случае есть две жордановы клетки порядка 1 с собственными значениями $\pm iB$ и две жордановы клетки порядка 1 с собственным значением 0. Нормальная форма гамильтониана (по Арнольду)
$$
H=\frac12(B^2p_1^2+q_1^2),
$$
$p_2$ и $q_2$ вообще не входят. В качестве нормальных канонических переменных можно взять, например, $I_1$, $I_2$, $K_1=p_x+By/2$, $K_2=p_y-Bx/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal
Вы извините, но кажется, вы схватились за книгу Фейнмана не в том порядке, как их следует читать, и нахватались оттуда слов, смысл которых объясняется в других книгах, вами ещё не прочитанных. Так не надо её всем в нос тыкать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория
Сообщение15.04.2015, 18:04 
Заморожен


24/06/14
358
На указанных мной страницах книги Фейнмана объясняется разница между квадратичными и неквадратичными гамильтонианами, что имеет непосредственное отношение к задаче.
P.S. Я не спорю, однако, что обобщения нужно делать аккуратно. Не менее аккуратно, чем применять фразы вида "тыкать в нос".
Не путайте людей, копающихся в чем-то для того, чтобы хорошо разобраться, с людьми, копающимися в чем-то для создания своих нелепых альтернативных теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение16.04.2015, 00:23 
Заморожен


24/06/14
358
peregoudov в сообщении #1003878 писал(а):
Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.

Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие
$$
[I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1.
$$
Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке ${\bf A}=(-By/2,Bx/2)$ интегралы имеют вид
$$
I_1=p_x-By/2,\quad I_2=p_y+Bx/2,\quad I_3=xp_y-yp_x.
$$
В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом $I_{1,2,3}\to e^{if}I_{1,2,3}e^{-if}$, где $f$ --- та же функция, что преобразует потенцтал, ${\bf A}\to{\bf A}+\nabla f$.

Выражение гамильтониана $H=({\bf p}-{\bf A})^2\!/2$ через интегралы имеет вид
$$
H=(I_1^2+I_2^2)/2-BI_3.
$$

Поднимающими и опускающими операторами являются $K_\pm=(p_x+By/2)\pm i(p_y-Bx/2)$, коммутаторы
$$
[H,K_\pm]=-BK_\pm.
$$

Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов $I_{1,2,3}$.


Кстати, получается, что поднимающие и опускающие операторы в определенных комбинациях (пока не знаю, каких) образуют генераторы группы симметрии системы. Сразу не заметил как-то. А элементы группы симметрии - движения плоскости $+$ калибровочные преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение23.04.2015, 14:10 


10/03/07
480
Москва
Я вынужден поддержать Munin'а: вы пытаетесь читать книги и решать задачи, для чтения и решения которых вам катастрофически не хватает базовых знаний. Поверьте, будет гораздо полезнее, если вы будете последовательно прорабатывать стандартный университетский (а, возможно, где-то и школьный) курс, нежели скакать по "вкусным" задачам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение23.04.2015, 18:40 
Заморожен


24/06/14
358
Спасибо за совет и критику.
Мне стоит продолжить данную дискуссию в ближайшее время.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group