Уровни Ландау и теория групп

[amon]

Ох-ох-оюшки. Что-то мы друг друга то ли не понимаем, то ли не слышим. Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$ и $a^+$, поскольку, у первого собственным значением будет любое комплексное число, а у второго их вообще нет.

[Kirill_Sal]

Ах, да. Теперь вспомнил. Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:

$a|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$

$a^{+}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

Их матрицы недиагональны и никаких собственных чисел для них, конечно, не ввести.

Однако что не справедливого в том, чтобы сказать, что при произвольном преобразовании $(P,Q)$ они могут потерять смысл операторов рождения и уничтожения, соответствующих реальному полю?

[Nemiroff]

amon в сообщении #1004020 писал(а):

Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$

Да ладно! Когерентные состояния.

Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):

Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:

Вы кинжал обронили.

[Kirill_Sal]

Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):

amon в сообщении #1004020 писал(а):

Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$

Да ладно! Когерентные состояния.

Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):

Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:

Вы кинжал обронили.

Крестик всмысле?

-- 15.04.2015, 02:40 --

Я когерентными состояниями еще в самом начале изучения КМ заинтересовался, когда пытался разобраться в минимуме соотношения неопределенностей. Скачал сборник статей под редакцией Манько, а потом один человек посоветовал мне заняться вещами посерьезнее. Я его послушал, а зря. Похоже это именно то, что мне следует почитать для того, чтобы разобраться со своей несчастной задачей. А что сразу не посоветовали?
Я так понимаю, что там все как и я квадратичные гамильтонианы считают божественной сущностью

[amon]

Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):

Да ладно! Когерентные состояния.

Нельзя в смысле можно, но толку - чуть. Я на вскидку придумаю очень много операторов, спектром которых будет любое комплексное число.
Kirill_Sal,
открывайте-ка Вы учебник по квантовой механике (рекомендую для начала Киселева и Фаддеева) и читайте там про лестничные операторы, когерентные состояния, представление чисел заполнения, - глядишь, и все "глубокомысленные" вопросы сами рассосутся. Манько с Переломовым пока не трогайте.

[Kirill_Sal]

Это не такая уж и "глубокомысленная" задача. Не знаю, что насчет связи калибровочной инвариантности и этих операторов, но если Вы мне не верите насчет связи однородности и сохранения числа виртуальных частиц, то см. книгу Фейнмана (я уже указывал какие страницы).
Фадеев вроде математикам писал книгу? КМ я кстати не по Википедии изучаю. Вообще, вторичное квантование - это не самая простая вещь и скорее относится к КТП, к которой я начинаю подготавливаться. Иногда полезно вконец запутаться в каком-то вопросе, а лишь потом прочитать, что сказано в учебнике. Как родное потом становится, честное слово.

[peregoudov]

Если же подходить более общо, то гамильтониан в магнитном поле --- квадратичный. Такой гамильтониан можно линейным каноническим (то есть сохраняющим коммутаторы) преобразованием привести к нормальной форме. Нормальные формы перечислены, например, у Арнольда в "Математических методах классической механики", дополнение 6. В данном случае есть две жордановы клетки порядка 1 с собственными значениями $\pm iB$ и две жордановы клетки порядка 1 с собственным значением 0. Нормальная форма гамильтониана (по Арнольду)

$$ H=\frac12(B^2p_1^2+q_1^2), $$

$p_2$ и $q_2$ вообще не входят. В качестве нормальных канонических переменных можно взять, например, $I_1$, $I_2$, $K_1=p_x+By/2$, $K_2=p_y-Bx/2$.

[Munin]

Kirill_Sal
Вы извините, но кажется, вы схватились за книгу Фейнмана не в том порядке, как их следует читать, и нахватались оттуда слов, смысл которых объясняется в других книгах, вами ещё не прочитанных. Так не надо её всем в нос тыкать.

[Kirill_Sal]

На указанных мной страницах книги Фейнмана объясняется разница между квадратичными и неквадратичными гамильтонианами, что имеет непосредственное отношение к задаче.
P.S. Я не спорю, однако, что обобщения нужно делать аккуратно. Не менее аккуратно, чем применять фразы вида "тыкать в нос".
Не путайте людей, копающихся в чем-то для того, чтобы хорошо разобраться, с людьми, копающимися в чем-то для создания своих нелепых альтернативных теорий.

[Kirill_Sal]

peregoudov в сообщении #1003878 писал(а):

Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.

Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие

$$ [I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1. $$

Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке ${\bf A}=(-By/2,Bx/2)$ интегралы имеют вид

$$ I_1=p_x-By/2,\quad I_2=p_y+Bx/2,\quad I_3=xp_y-yp_x. $$

В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом $I_{1,2,3}\to e^{if}I_{1,2,3}e^{-if}$, где $f$ --- та же функция, что преобразует потенцтал, ${\bf A}\to{\bf A}+\nabla f$.

Выражение гамильтониана $H=({\bf p}-{\bf A})^2\!/2$ через интегралы имеет вид

$$ H=(I_1^2+I_2^2)/2-BI_3. $$

Поднимающими и опускающими операторами являются $K_\pm=(p_x+By/2)\pm i(p_y-Bx/2)$, коммутаторы

$$ [H,K_\pm]=-BK_\pm. $$

Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов $I_{1,2,3}$.

Кстати, получается, что поднимающие и опускающие операторы в определенных комбинациях (пока не знаю, каких) образуют генераторы группы симметрии системы. Сразу не заметил как-то. А элементы группы симметрии - движения плоскости $+$ калибровочные преобразования.

[peregoudov]

Я вынужден поддержать Munin'а: вы пытаетесь читать книги и решать задачи, для чтения и решения которых вам катастрофически не хватает базовых знаний. Поверьте, будет гораздо полезнее, если вы будете последовательно прорабатывать стандартный университетский (а, возможно, где-то и школьный) курс, нежели скакать по "вкусным" задачам.

[Kirill_Sal]

Спасибо за совет и критику.
Мне стоит продолжить данную дискуссию в ближайшее время.