Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.
Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие
Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке
интегралы имеют вид
В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом
, где
--- та же функция, что преобразует потенцтал,
.
Выражение гамильтониана
через интегралы имеет вид
Поднимающими и опускающими операторами являются
, коммутаторы
Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов
.
Кстати, получается, что поднимающие и опускающие операторы в определенных комбинациях (пока не знаю, каких) образуют генераторы группы симметрии системы. Сразу не заметил как-то. А элементы группы симметрии - движения плоскости
калибровочные преобразования.