Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.
Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие
![$$
[I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1.
$$ $$
[I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/a/99ade5985a836e6ec0defb43e4c79f7a82.png)
Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке

интегралы имеют вид

В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом

, где

--- та же функция, что преобразует потенцтал,

.
Выражение гамильтониана

через интегралы имеет вид

Поднимающими и опускающими операторами являются

, коммутаторы
![$$
[H,K_\pm]=-BK_\pm.
$$ $$
[H,K_\pm]=-BK_\pm.
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd717f0489a93c1527c393cab65740d182.png)
Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов

.
Кстати, получается, что поднимающие и опускающие операторы в определенных комбинациях (пока не знаю, каких) образуют генераторы группы симметрии системы. Сразу не заметил как-то. А элементы группы симметрии - движения плоскости
калибровочные преобразования.