2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Ох-ох-оюшки. Что-то мы друг друга то ли не понимаем, то ли не слышим. Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$ и $a^+$, поскольку, у первого собственным значением будет любое комплексное число, а у второго их вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:14 
Заморожен


24/06/14
358
Ах, да. Теперь вспомнил. Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:

$a|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$

$a^{+}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$

Их матрицы недиагональны и никаких собственных чисел для них, конечно, не ввести.

Однако что не справедливого в том, чтобы сказать, что при произвольном преобразовании $(P,Q)$ они могут потерять смысл операторов рождения и уничтожения, соответствующих реальному полю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:21 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
amon в сообщении #1004020 писал(а):
Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$
Да ладно! Когерентные состояния. :mrgreen:
Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):
Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:
Вы кинжал обронили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:29 
Заморожен


24/06/14
358
Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):
amon в сообщении #1004020 писал(а):
Нельзя рассуждать о собственных значениях операторов $a$
Да ладно! Когерентные состояния. :mrgreen:
Kirill_Sal в сообщении #1004032 писал(а):
Операторы рождения и уничтожения обычно действуют следующим образом:
Вы кинжал обронили.


Крестик всмысле?

-- 15.04.2015, 02:40 --

Я когерентными состояниями еще в самом начале изучения КМ заинтересовался, когда пытался разобраться в минимуме соотношения неопределенностей. Скачал сборник статей под редакцией Манько, а потом один человек посоветовал мне заняться вещами посерьезнее. Я его послушал, а зря. Похоже это именно то, что мне следует почитать для того, чтобы разобраться со своей несчастной задачей. А что сразу не посоветовали?
Я так понимаю, что там все как и я квадратичные гамильтонианы считают божественной сущностью :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 02:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Nemiroff в сообщении #1004034 писал(а):
Да ладно! Когерентные состояния.

Нельзя в смысле можно, но толку - чуть. Я на вскидку придумаю очень много операторов, спектром которых будет любое комплексное число.
Kirill_Sal,
открывайте-ка Вы учебник по квантовой механике (рекомендую для начала Киселева и Фаддеева) и читайте там про лестничные операторы, когерентные состояния, представление чисел заполнения, - глядишь, и все "глубокомысленные" вопросы сами рассосутся. Манько с Переломовым пока не трогайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 04:18 
Заморожен


24/06/14
358
Это не такая уж и "глубокомысленная" задача. Не знаю, что насчет связи калибровочной инвариантности и этих операторов, но если Вы мне не верите насчет связи однородности и сохранения числа виртуальных частиц, то см. книгу Фейнмана (я уже указывал какие страницы).
Фадеев вроде математикам писал книгу? КМ я кстати не по Википедии изучаю. Вообще, вторичное квантование - это не самая простая вещь и скорее относится к КТП, к которой я начинаю подготавливаться. Иногда полезно вконец запутаться в каком-то вопросе, а лишь потом прочитать, что сказано в учебнике. Как родное потом становится, честное слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 13:41 


10/03/07
478
Москва
Если же подходить более общо, то гамильтониан в магнитном поле --- квадратичный. Такой гамильтониан можно линейным каноническим (то есть сохраняющим коммутаторы) преобразованием привести к нормальной форме. Нормальные формы перечислены, например, у Арнольда в "Математических методах классической механики", дополнение 6. В данном случае есть две жордановы клетки порядка 1 с собственными значениями $\pm iB$ и две жордановы клетки порядка 1 с собственным значением 0. Нормальная форма гамильтониана (по Арнольду)
$$
H=\frac12(B^2p_1^2+q_1^2),
$$
$p_2$ и $q_2$ вообще не входят. В качестве нормальных канонических переменных можно взять, например, $I_1$, $I_2$, $K_1=p_x+By/2$, $K_2=p_y-Bx/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение15.04.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal
Вы извините, но кажется, вы схватились за книгу Фейнмана не в том порядке, как их следует читать, и нахватались оттуда слов, смысл которых объясняется в других книгах, вами ещё не прочитанных. Так не надо её всем в нос тыкать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория
Сообщение15.04.2015, 18:04 
Заморожен


24/06/14
358
На указанных мной страницах книги Фейнмана объясняется разница между квадратичными и неквадратичными гамильтонианами, что имеет непосредственное отношение к задаче.
P.S. Я не спорю, однако, что обобщения нужно делать аккуратно. Не менее аккуратно, чем применять фразы вида "тыкать в нос".
Не путайте людей, копающихся в чем-то для того, чтобы хорошо разобраться, с людьми, копающимися в чем-то для создания своих нелепых альтернативных теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение16.04.2015, 00:23 
Заморожен


24/06/14
358
peregoudov в сообщении #1003878 писал(а):
Честно скажу: не понял, чего хочет автор темы, но сам в свое время баловался с гамильтонианом в однородном магнитном поле, поэтому просто расскажу о результатах.

Группа симметрии там --- не совсем движения плоскости. Коммутационные соотношения такие
$$
[I_1,I_2]=-iB,\quad [I_1,I_3]=-iI_2,\quad [I_2,I_3]=iI_1.
$$
Явный вид интегралов движения зависит от используемой калибровки. В симметричной калибровке ${\bf A}=(-By/2,Bx/2)$ интегралы имеют вид
$$
I_1=p_x-By/2,\quad I_2=p_y+Bx/2,\quad I_3=xp_y-yp_x.
$$
В другие калибровки они могут быть преобразованы следующим образом $I_{1,2,3}\to e^{if}I_{1,2,3}e^{-if}$, где $f$ --- та же функция, что преобразует потенцтал, ${\bf A}\to{\bf A}+\nabla f$.

Выражение гамильтониана $H=({\bf p}-{\bf A})^2\!/2$ через интегралы имеет вид
$$
H=(I_1^2+I_2^2)/2-BI_3.
$$

Поднимающими и опускающими операторами являются $K_\pm=(p_x+By/2)\pm i(p_y-Bx/2)$, коммутаторы
$$
[H,K_\pm]=-BK_\pm.
$$

Уровни энергии на самом деле вырождены с бесконечной кратностью, поскольку состояния характеризуются не только значением гамильтониана, но и значением какого-то одного из интегралов $I_{1,2,3}$.


Кстати, получается, что поднимающие и опускающие операторы в определенных комбинациях (пока не знаю, каких) образуют генераторы группы симметрии системы. Сразу не заметил как-то. А элементы группы симметрии - движения плоскости $+$ калибровочные преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение23.04.2015, 14:10 


10/03/07
478
Москва
Я вынужден поддержать Munin'а: вы пытаетесь читать книги и решать задачи, для чтения и решения которых вам катастрофически не хватает базовых знаний. Поверьте, будет гораздо полезнее, если вы будете последовательно прорабатывать стандартный университетский (а, возможно, где-то и школьный) курс, нежели скакать по "вкусным" задачам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение23.04.2015, 18:40 
Заморожен


24/06/14
358
Спасибо за совет и критику.
Мне стоит продолжить данную дискуссию в ближайшее время.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: peg59


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group