Найти предел

[mihailm]

(Оффтоп)

veez в сообщении #1002561 писал(а):

Anton_Peplov

Спасибо! Как всегда, решение лежало на поверхности.

При чем тут Anton_Peplov??? Идею решения дал Brukvalub, подсказывали ИСН и nnosipov.

[Anton_Peplov]

veez

Anton_Peplov тут ни при чем, но он будет рад, если Вы поделитесь найденным решением. Ибо рассуждение Dmitry Tkachenko неверно. При $n \to \infty$ получается $\ln n + \ln(1 + \frac{4}{n}) \to \infty $ за счет первого слагаемого.

[Dmitry Tkachenko]

(Оффтоп)

С какого-то момента я принял Anton_Peplov за топикстартера, получается за veez пример решили

-- 11.04.2015, 15:50 --

Anton_Peplov, это заведомо исковерканное рассуждение, чтобы навести на мысль типа $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1.$

[Brukvalub]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1002628 писал(а):

(Оффтоп)

С какого-то момента я принял Anton_Peplov за топикстартера, получается за veez пример решили

-- 11.04.2015, 15:50 --

Anton_Peplov, это заведомо исковерканное рассуждение, чтобы навести на мысль типа $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1.$

Снова "незачёт"!

[nnosipov]

Формально всё верно, знаки "равно" опротестовать трудно, но этим заявлением сдающий сильно рискует продлить удовольствие от сдачи зачёта.

[Brukvalub]

Формально-то верно, вот только обосновать законность отбрасывания слагаемых, опираясь на стандартный набор теорем о пределах и ничего не дописывая - трудновато будет.

[nnosipov]

Угу, я о том же. Мне кажется, ребята здесь прикалываются

[mihailm]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1002590 писал(а):

veez

Anton_Peplov тут ни при чем, но он будет рад, если Вы поделитесь найденным решением...

А таблицей умножения не поделиться?

[Anton_Peplov]

С таблицей умножения я знаком. Но на основании каких теорем в уравнении

$$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1 $$

появляется первый знак "$=$", не понимаю. Впрочем, можете не отвечать. В конце концов, это не моя задача.

[Dmitry Tkachenko]

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\ln n \Big(1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \Big)}{\ln n \Big(1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n}\Big)}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n}}{1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n}}.$

Далее, $1\leqslant \bigg| 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg| \leqslant \bigg| 1+\dfrac{1+a/n}{\ln n} \bigg| \to 1, n \to +\infty.$

Значит, $\lim\limits_{n\to +\infty} \bigg( 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg)=1.$

Если обозначить $f(n)=1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n}, g(n)=1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n},$ то имеем:
1) $f,g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R};$
2) $n_0=+\infty$ --- предельная точка $\mathbb{R};$
3) сущестуют пределы $\lim\limits_{n\to n_0}f(n)=1\in\mathbb{R}, \lim\limits_{n\to n_0}g(n)=1\in\mathbb{R}.$

Тогда $\lim\limits_{n\to n_0} \dfrac{f(n)}{g(n)}=\dfrac{\lim\limits_{n\to n_0}f(n)}{\lim\limits_{n\to n_0}g(n)}=1.$

[nnosipov]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1002838 писал(а):

Далее, $1\leqslant \bigg| 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg| \leqslant \bigg| 1+\dfrac{1+a/n}{\ln n} \bigg| \to 1, n \to +\infty.$

Ну вот, ещё одна мина для доверчивых студентов.

[Dmitry Tkachenko]

nnosipov, что Вы имеете в виду под миной?

[provincialka]

Dmitry Tkachenko
Зачем так сложно? Числитель стремится к... Знаменатель стремится к... Нет же неопределенности!

[Anton_Peplov]

provincialka

При $n \to \infty$ верно $\frac{a}{n} \to 0$, значит, $\ln(1 + \frac{a}{n}) \to \ln 1 = 0$. А $\frac{0}{\infty}$ - это не неопределенность, это $0$. Так, что ли?

[nnosipov]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1002947 писал(а):

nnosipov, что Вы имеете в виду под миной?

Ну, например, то, что при $a<0$ левое неравенство даже неверно. И, как уже заметили, зачем так усложнять?

-- Вс апр 12, 2015 18:17:21 --

Anton_Peplov в сообщении #1002950 писал(а):

Так, что ли?

Угу, именно так.