2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 10:59 

(Оффтоп)

veez в сообщении #1002561 писал(а):
Anton_Peplov

Спасибо! Как всегда, решение лежало на поверхности.
При чем тут Anton_Peplov??? Идею решения дал Brukvalub, подсказывали ИСН и nnosipov.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 14:02 
Аватара пользователя
veez

Anton_Peplov тут ни при чем, но он будет рад, если Вы поделитесь найденным решением. Ибо рассуждение Dmitry Tkachenko неверно. При $n \to \infty$ получается $\ln n + \ln(1 + \frac{4}{n}) \to \infty $ за счет первого слагаемого.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 16:43 

(Оффтоп)

С какого-то момента я принял Anton_Peplov за топикстартера, получается за veez пример решили :evil:


-- 11.04.2015, 15:50 --

Anton_Peplov, это заведомо исковерканное рассуждение, чтобы навести на мысль типа $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1.$

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 17:43 
Аватара пользователя
Dmitry Tkachenko в сообщении #1002628 писал(а):

(Оффтоп)

С какого-то момента я принял Anton_Peplov за топикстартера, получается за veez пример решили :evil:


-- 11.04.2015, 15:50 --

Anton_Peplov, это заведомо исковерканное рассуждение, чтобы навести на мысль типа $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1.$
Снова "незачёт"! :D

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 17:47 
Формально всё верно, знаки "равно" опротестовать трудно, но этим заявлением сдающий сильно рискует продлить удовольствие от сдачи зачёта.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 17:51 
Аватара пользователя
Формально-то верно, вот только обосновать законность отбрасывания слагаемых, опираясь на стандартный набор теорем о пределах и ничего не дописывая - трудновато будет. :D

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 17:55 
Угу, я о том же. Мне кажется, ребята здесь прикалываются :-)

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.04.2015, 21:14 

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1002590 писал(а):
veez

Anton_Peplov тут ни при чем, но он будет рад, если Вы поделитесь найденным решением...
А таблицей умножения не поделиться?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 01:33 
Аватара пользователя
С таблицей умножения я знаком. Но на основании каких теорем в уравнении
$$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln n}{\ln n}=1 $$
появляется первый знак "$=$", не понимаю. Впрочем, можете не отвечать. В конце концов, это не моя задача.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 04:59 
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ln n + \ln (1+a/n)}{\ln n + \ln (1+b/n)}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\ln n \Big(1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \Big)}{\ln n \Big(1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n}\Big)}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n}}{1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n}}.$

Далее, $1\leqslant \bigg| 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg| \leqslant \bigg| 1+\dfrac{1+a/n}{\ln n} \bigg| \to 1, n \to +\infty.$

Значит, $\lim\limits_{n\to +\infty} \bigg( 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg)=1.$

Если обозначить $f(n)=1+\frac{\ln (1+a/n)}{\ln n}, g(n)=1+\frac{\ln (1+b/n)}{\ln n},$ то имеем:
1) $f,g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R};$
2) $n_0=+\infty$ --- предельная точка $\mathbb{R};$
3) сущестуют пределы $\lim\limits_{n\to n_0}f(n)=1\in\mathbb{R}, \lim\limits_{n\to n_0}g(n)=1\in\mathbb{R}.$

Тогда $\lim\limits_{n\to n_0} \dfrac{f(n)}{g(n)}=\dfrac{\lim\limits_{n\to n_0}f(n)}{\lim\limits_{n\to n_0}g(n)}=1.$

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 07:55 
Dmitry Tkachenko в сообщении #1002838 писал(а):
Далее, $1\leqslant \bigg| 1+\dfrac{\ln (1+a/n)}{\ln n} \bigg| \leqslant \bigg| 1+\dfrac{1+a/n}{\ln n} \bigg| \to 1, n \to +\infty.$
Ну вот, ещё одна мина для доверчивых студентов.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 13:57 
nnosipov, что Вы имеете в виду под миной?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 14:01 
Аватара пользователя
Dmitry Tkachenko
Зачем так сложно? Числитель стремится к... Знаменатель стремится к... Нет же неопределенности!

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 14:10 
Аватара пользователя
provincialka

При $n \to \infty$ верно $\frac{a}{n} \to 0$, значит, $\ln(1 + \frac{a}{n}) \to \ln 1 = 0$. А $\frac{0}{\infty}$ - это не неопределенность, это $0$. Так, что ли?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.04.2015, 14:15 
Dmitry Tkachenko в сообщении #1002947 писал(а):
nnosipov, что Вы имеете в виду под миной?
Ну, например, то, что при $a<0$ левое неравенство даже неверно. И, как уже заметили, зачем так усложнять?

-- Вс апр 12, 2015 18:17:21 --

Anton_Peplov в сообщении #1002950 писал(а):
Так, что ли?
Угу, именно так.

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group