В дополнение к сказанному процитирую пару отрывков из книги
Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. Сначала из Введения:
Цитата:
Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий, а если несколько упростить дело, то можно сказать, что ее задача состоит в том, чтобы ответить на вопрос: «Что такое математика?». Известные математики Р. Курант и Г. Роббинс написали книгу под таким заглавием, где на ряде примеров проиллюстрировали проблемы и методы различных областей математики. Бытует мнение, что таков единственно правильный способ ответа на поставленный вопрос. Это мнение, однако, неверно. Рассмотрение содержания науки может и должно в конечном итоге привести к уяснению некоторых специфических черт ее как таковой, к формулировке общих принципов, которые отличают ее от других видов знания, т. е. к философскому, а точнее, к гносеологическому ее определению.
Философское определение математики (как, впрочем, и любой другой науки) не нужно понимать упрощенно, как некоторое утверждение, схватывающее суть математики в виде короткого афоризма. Такие определения даются, но, хотя они и не бессмысленны, сами по себе они не имеют большого методологического значения. Понять математику — это понять ее отличие от опытных наук, с одной стороны, и от логики — с другой, понять специфику ее методов и особенности функционирования. Действительное философское понимание математики, таким образом, может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Этот анализ должен быть способен строго выразить, обосновать и даже поправить те интуитивные представления о математике, которые имеет специалист, работающий в этой области.
Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, и мы неизбежно начинаем с этого приема, к какому бы предмету мы ни обращались в целях исследования. Но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз меняли представление о своей науке и делали это каждый раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. У нас нет основания думать, что эта эволюция ведет к некоторой наибольшей очевидности. Напротив, имеются все основания предполагать, и за это говорит опыт всех наук, что мы постепенно теряем непосредственное согласие наших научных выводов с видением мира, которое называется здравым смыслом. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, т. е. только на основе здравого смысла математика-практика. Оно требует исследования истории различных концепций математики, анализа соответствующих контрпримеров, и только таким образом мы имеем шансы приблизиться к пониманию математики, которое может оказаться интуитивно ясным далеко не во всех моментах. Так, например, студент-математик, как правило, убежден, что все, что доказано, доказано строго и окончательно. В этом выражается интуитивное представление о математике как о строгой дедуктивной науке, разделяемое всеми математиками и нематематиками вплоть до XX в. В настоящее время, однако, есть серьезные доводы за то, что это убеждение неверно. Можно привести и другие примеры, подтверждающие ненадежность интуитивных выводов в истолковании природы математического знания.
Тут предвижу недовольство: философы будут поправлять математиков. Но прежде чем негодовать, стоит прочитать внимательно: утверждается, что проблема сложная, а сложные проблемы нуждаются в специальном исследовании, кто это исследование должен проводить – видимо, и философы, и математики.
А теперь из заключения:
Цитата:
Ясное представление о природе математики необходимо также и для своевременной ассимиляции нового. Длительное неприятие неевклидовых геометрий, как мы видели, было обусловлено отнюдь не наличием математических ошибок в работах Больяи и Лобачевского. Это было неприятие самого направления исследования, которое проистекало из определенной философии математики. Позиция, занятая многими крупными математиками по отношению к геометрии Лобачевского и Больяи, сегодня кажется нам близорукой и чуть ли не обскурантистской. Однако для правильной оценки такого рода явлений мы не должны забывать об исторической относительности всякого момента времени. Многое из того, чем будут заниматься математики XXI в., будет не просто сложнее и абстрактнее, но и, несомненно, будет в чем-то выходить за пределы наших сегодняшних представлений о предмете и методе математики. А это значит, что мы также ко многому слепы и также склонны отрицать или проходить мимо вещей, которым принадлежит будущее. Математик, защищающий сегодня классическую строгость своей науки, найдет много союзников. Но прав ли он в исторической перспективе? На этот вопрос непросто ответить. Единственный способ усилить чувство будущего — смотреть в прошлое. Практика показывает, что человек, знающий историю науки, борьбу методологий и философских мировоззрений, легче способен отбросить привычные ограничения, быстрее оцепить новое и обосновать, его необходимость. По крайней мере он обладает значительно большей возможностью точно сформулировать свои методологические принципы. Мировоззренческие предрассудки тем сильнее держат нас в плену, чем хуже они выражены в понятиях.
Для правильного понимания роли философского и методологического компонента в развитии науки мы должны подойти к ней исторически. Чем дальше развивается наука, тем в большей степени она сознательно опирается на методологические принципы вообще и, в частности, на принципы, которые не являются очевидными для здравого смысла. Тем самым методология науки все больше превращается в особую сферу знания, требующую специального изучения и обоснования. С большой уверенностью мы можем сегодня сказать, что ученый будущего — это человек, подготовленный не только к решению определенных конкретных задач, но и обладающий широкой методологической эрудицией, т. е. обладающий не только знаниями о предмете, который он изучает, как это было и в значительной мере остается и сейчас, но и знаниями о теории, способах ее построения и развития и т. д. Причем чем дальше, тем больше именно этот второй блок эрудиции будет определять успех в решении конкретных задач. Такова общая закономерность развития знания, которая относится также и к математике. Практика преподавания специальных дисциплин пока не учитывает в достаточной мере эту неизбежно возрастающую роль методологического знания.
Тут продуктивный ИМХО методологический принцип – “смотреть в прошлое”. Действительно, а как еще делать выводы, как не изучая уже сделанные достижения и ошибки? Чтобы не наступать дважды на грабли, стоит помнить тот первый раз, когда на них наступил.
И не только я - весь наш выпуск аспирантов единодушно "высоко" отзывался о его "учениях".
