Восстановление системы дифференциальных уравнений

[DiMath]

Дана система дифференциальных уравнений, где $Q(x,y),P(x,y)$ - полиномы.
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}=P(x,y) \\ \dot{y}=Q(x,y) \\ \end{array} \right.$
Подскажите, пожалуйста, как определить искомые полиномы, зная лишь фазовый портрет системы?

Спасибо.

[ИСН]

То есть система всё-таки не дана. А что дано? В каком виде он дан, этот фазовый портрет?

[DiMath]

ИСН
Дано то, что в правой части именно полиномы, и дан рисунок - фазовый портрет.
Имеются ли способы "угадать" эти самые полиномы?

[dsge]

Обратная 6-ая проблема Гильберта.

[Otta]

Вообще говоря, нет. И неважно, что там, полиномы или не полиномы. Эта информация мало что дает. По фазовому портрету максимум, что можно восстановить - поле направлений, а не векторное поле.
В частности, для систем

DiMath в сообщении #1002236 писал(а):

$\left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}=P(x,y) \\\dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right.$

и $\left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}=R(x,y)P(x,y) \\\dot{y}=R(x,y)Q(x,y) \\\end{array}\right.$
фазовый портрет будет одинаковым.

[DiMath]

Вот так выглядит фазовый портрет. Неужели ничего нельзя сделать?
Может посоветуете какую-нибудь литературу, именно по этому вопросу?

[dsge]

Задача найти любой полином, соответствующий этому фазовому портрету?
Эта картинка, кажется, есть в какой-то книжке Ильяшенко.

[DiMath]

dsge
Да, задача найти любые два полинома $P(x,y),Q(x,y)$, соответствующие этому фазовому портрету.

Какого примерно содержания книга, Вы не помните?

[Otta]

DiMath
В "Фундаментальных направлениях, Динамические системы-1" эта картинка точно есть. Как иллюстрация примера сложного цикла, допускающего преобразование монодромии. Элементарный цикл, кстати.

[DiMath]

Otta
Да, я нашел эту картинку. Спасибо!
Но что за система ей соответствует там умолчали..

[Otta]

Дык а почему должны были рассказать? Это же все-таки задача.
Ну возьмите самостоятельно три прямые, вот так расположенные, запишите их уравнения, придумайте, какое условие должно выполняться, чтобы все три прямые были сепаратрисами... для начала. Подобрать поле под это условие можно и методом неопределенных коэффициентов.

[DiMath]

Otta
И как выглядит это условие?

[Otta]

Ну давайте проще. Когда кривая $l(x,y)=0$ является сепаратрисой для поля $v(x,y)$? Что такое сепаратриса вообще, чем она замечательна?

[DiMath]

Otta
Сепаратриса - это траектория динамической системы с двумерным фазовым пространством, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при $t\to+\infty$ или $t\to-\infty$. Верно?

[Otta]

И по совместительству, в данном случае, инвариантное многообразие, что интереснее.