Восстановление системы дифференциальных уравнений

[Otta]

Я не стала смотреть, там пока введешь - замаешься. Да, это то, что нужно и практически то, что предлагал Oleg Zubelevich, ровно при одном условии - что при введении возмущения Вас не волнует сохранение седловых соединений.

Чтобы они сохранялись, добавок придется придумывать специальным образом, линейным не обойдешься.

Удивилась я потому, что такая система не гамильтонова.

[DiMath]

Понятно. А добавок это та функция, о которой писал Oleg Zubelevich?

[Otta]

Как хотите, так и называйте. Добавок, возмущение системы etc. На данном этапе у Вас в нем проблема, а не в том, чтобы по заданным трем прямым построить векторное поле с тремя седловыми особенностями в точках пересечения и одной внутри треугольника. Это делается просто. (Кстати, как?)
Возмутить картинку, чтобы исправить центр на фокус, тоже легко. Труднее возмутить так, чтобы сохранялись соединения.

[Yu_K]

DiMath в сообщении #1003329 писал(а):

Otta
Посмотрите вот здесь http://www.math.missouri.edu/~bartonae/pplane.html

$x'=6xy-5y+0.4x$
$y'=5x+3x^2-3y^2+0.4y$

Разве получается не то, что нужно?

Фокус получается - а вот сепаратрисы разбегаются.

[DiMath]

Yu_K
В итоге, возможность решить задачу, используя только лишь полиномы, есть? Или нет?

[Otta]

DiMath
Хоть и не ко мне вопрос. :)
Это зависит от точной постановки задачи. Если в задаче требовалось найти полиномиальное поле, для которого полный фазовый портрет совпадает с рисунком, то ответ, вероятнее всего, нет. Четыре особые точки характерны для квадратичных векторных полей, если не рассматривать извращенные случаи, когда векторное поле намеренно домножается на функциональный множитель, от чего фазовый портрет не меняется, как уже отмечалось, а степень полиномов, естественно, возрастает. А для квадратичных векторных полей внутри треугольника удастся организовать только центр.

Если же в задаче требовалось лишь построить полиномиальное поле, обладающее изображенным на картинке циклом (то есть, может, есть и еще какие-то особенности, но нас волнует лишь наличие именно такого цикла в фазовом портрете), то ответ - да.

[Yu_K]

Я не знаю. Я как то видел подобную картинку в Шильников и др. - стр. 142 - но там вроде нет конструкции с фокусом между тремя седлами.

Можно для начала попробовать разобраться со структурой, когда между двумя седлами находится фокус.

[Otta]

Идея post1002285.html#p1002285 , кстати, не такая и бесполезная и зря, имхо, она ушла в игнор. Давайте посмотрим, как можно было ее использовать для квадратичных векторных полей.
$\left\{\begin{array}{rcl} \dot{x}=P(x,y) \\ \dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right.$
Пусть нам захотелось вдруг иметь треугольник из сепаратрис $\{x=0\},\;\{y=0\},\;\{x+y-1=0\}$. Векторное поле $v=P\dfrac{\partial}{\partial x}+Q \dfrac{\partial}{\partial y}$ касается этого множества в любой его точке, что обеспечивает условие равенства нулю производной по направлению этого векторного поля функции $H=xy(x+y-1)$ во всех точках $\{H=0\}$. Иначе,

$$P\dfrac{\partial H}{\partial x}+Q \dfrac{\partial H}{\partial y}=k(x,y)H(x,y). \eqno (1)$$

Выписав квадратичное поле в виде суммы линейной и собственно квадратичной части с особой точкой в нуле, получим 10-параметрическое поле.
Часть параметров зануляется: достаточно заметить, что происходит в равенстве (1) при $x=0$, а также при $y=0$.
Поле сведется к виду
$P=x(a_{10}+a_{20}x+a_{11}y),\; Q=y(b_{01}+b_{11}x+b_{02}y)$.
Без ограничения общности (этого легко достичь, сохраняя поле направлений), можно считать $a_{10}=1$, $b_{01}=-b$, где $b>0$ - с целью обеспечить седло в начале координат.
Далее, точно так же обеспечиваем, чтобы все оставшиеся точки пересечения прямых были особыми. В векторном поле останется три параметра. Теперь даже метод неопределенных коэффициентов вполне подъемен, и (проверьте, я не сильна в арифметике) векторное поле восстанавливается однозначно, и восстановленная система будет гамильтоновой с гамильтонианом, исходно обозначенным $H$. Четвертая же особая точка, внутри треугольника, само собой, будет центром, тут по другому быть не может.

Есть и другие соображения, почему для квадратичных векторных полей с треугольником из сепаратрис внутри может быть только центр, но это дольше считать и писать. :)

Что там будет для полиномов более высокой степени, можете посмотреть сами. Одно уже настораживает - проблема с тем, чтобы обеспечить ровно четыре особые точки. Поэтому я и интересуюсь, в точности ли таким было задание, тем более, оно уже раз менялось на ходу.

Наверное, есть какие-то более общие и красивые соображения, но случай настолько частный, что вряд ли.

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что картинку (фазовый портрет) надо понимать локально, в том смысле, что она должна быть такой в некотором круге, а что происходит за его пределами не важно.
и еще: седловые точки не разрушаются под действием малого возмущения (задача). А вот сепаратрисы могут расщепиться. Если понимать картинку локально, то мои рассуждения проходят и с полиномами.

[Otta]

DiMath
Далее.
Позволив себе гулять налево большее, чем квадратичные векторные поля, можно все же добиться желаемого результата. Скажем, для степени четыре можно точно. Для этого достаточно воспользоваться идеей, высказанной выше Oleg Zubelevich, введя в систему диссипативное возмущение, но не на таких жестких условиях, как предлагалось тут post1003304.html#p1003304. Идея, изложенная там, должна быть ясна, и можно попробовать ею пользоваться, отбросив требование нулёвости функции вне треугольника. Оно осмысленно, это требование, и призвано лишить многих забот, но в классе полиномиальных функций невыполнимо. Так что достаточно умножать возмущение на функцию, не меняющую знак внутри треугольника и нулевую на границе. Ясно, какой ее можно выбрать. Более того, есть надежда на то, что ее можно выбрать таким образом, чтобы не возникало лишних (вещественных) особых точек вне треугольника. И тогда Ваша задача будет решена полностью.

-- 14.04.2015, 16:14 --

Oleg Zubelevich

Oleg Zubelevich в сообщении #1003736 писал(а):

я думаю, что картинку (фазовый портрет) надо понимать локально,

Вообще, я тоже так думаю. Но вроде глобально при удачном выборе даже полиномиального возмущения тоже строится.
(Я раньше начала писать этот свой пост, и предыдущего Вашего не видела. Поэтому "идеей, высказанной выше" - это сильно выше. :))

[DiMath]

Otta
Что значит не на таких жестких условиях? Можно пример?

[Otta]

DiMath
В теме достаточно подсказок и прямых указаний, чтобы Вы разгребли все остальное самостоятельно. Ну что-то же должны сделать Вы, а? Попробуйте все понять, потом напишете, что получается и что не получается.