2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 10:57 
Дана система дифференциальных уравнений, где $Q(x,y),P(x,y)$ - полиномы.
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \dot{x}=P(x,y) \\
 \dot{y}=Q(x,y) \\
\end{array}
\right.$
Подскажите, пожалуйста, как определить искомые полиномы, зная лишь фазовый портрет системы?

Спасибо.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 11:36 
Аватара пользователя
То есть система всё-таки не дана. А что дано? В каком виде он дан, этот фазовый портрет?

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 11:49 
ИСН
Дано то, что в правой части именно полиномы, и дан рисунок - фазовый портрет.
Имеются ли способы "угадать" эти самые полиномы?

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 11:55 
Обратная 6-ая проблема Гильберта.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 11:59 
Вообще говоря, нет. И неважно, что там, полиномы или не полиномы. Эта информация мало что дает. По фазовому портрету максимум, что можно восстановить - поле направлений, а не векторное поле.
В частности, для систем
DiMath в сообщении #1002236 писал(а):
$\left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}=P(x,y) \\\dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right.$

и $\left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}=R(x,y)P(x,y) \\\dot{y}=R(x,y)Q(x,y) \\\end{array}\right.$
фазовый портрет будет одинаковым.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 12:07 
Вот так выглядит фазовый портрет. Неужели ничего нельзя сделать? :-(
Может посоветуете какую-нибудь литературу, именно по этому вопросу?

Изображение

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 12:15 
Задача найти любой полином, соответствующий этому фазовому портрету?
Эта картинка, кажется, есть в какой-то книжке Ильяшенко.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 12:21 
dsge
Да, задача найти любые два полинома $P(x,y),Q(x,y)$, соответствующие этому фазовому портрету.

Какого примерно содержания книга, Вы не помните?

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 13:12 
DiMath
В "Фундаментальных направлениях, Динамические системы-1" эта картинка точно есть. Как иллюстрация примера сложного цикла, допускающего преобразование монодромии. Элементарный цикл, кстати.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 13:21 
Otta
Да, я нашел эту картинку. Спасибо!
Но что за система ей соответствует там умолчали..

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 13:43 
Дык а почему должны были рассказать? :mrgreen: Это же все-таки задача.
Ну возьмите самостоятельно три прямые, вот так расположенные, запишите их уравнения, придумайте, какое условие должно выполняться, чтобы все три прямые были сепаратрисами... для начала. Подобрать поле под это условие можно и методом неопределенных коэффициентов.

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 14:55 
Otta
И как выглядит это условие? :facepalm:

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 15:15 
Ну давайте проще. Когда кривая $l(x,y)=0$ является сепаратрисой для поля $v(x,y)$? Что такое сепаратриса вообще, чем она замечательна?

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 15:22 
Otta
Сепаратриса - это траектория динамической системы с двумерным фазовым пространством, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при $t\to+\infty$ или $t\to-\infty$. Верно?

 
 
 
 Re: Восстановление системы дифференциальных уравнений
Сообщение10.04.2015, 15:38 
И по совместительству, в данном случае, инвариантное многообразие, что интереснее.

 
 
 [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group