Группы и подгруппы

[Sinoid]

AGu в сообщении #999859 писал(а):

«каждый элемент принадлежит какому-то классу».

Да это-то я уже понял.
Давайте проследим развитие этой темы. После первого моего поста на меня посыпалась куча насмешек: как вы, такой-сякой смеете разбираться в Куроше! В него нужно безоговорочно верить, нужно иметь в голове дословные его доказательства, ну или не обязательно его, а, вообще, заучить какое-нибудь доказательство на уровне буковок и запятых и, например, на экзамене, тебя спросят, а ты с выражением, как в четвертом классе, и выложишь это доказательство и получишь пятерочку в зачетку! Ну как удобно жить! Однако после того, как я на второй странице привел детальное изложение моего видения вопроса, случилось, пусть и после опять-таки ничего не объясняющей насмешки:

AGu в сообщении #999444 писал(а):

(Оффтоп)
Весна...

чудо: AV_77 (за что ему большое спасибо), выложил, пусть даже предварительно пожурив, ну как же: посмел объявить книгу Куроша непонятной! Прямо-таки святотатство, дополнительное рассуждение, сразу почти все объяснившее и которого нет в, по словам самого же Куроша, сказанными им в предисловии, содержащей

Цитата:

весь обязательный материал (по высшей алгебре) собранным в одном учебнике и изложенным единым стилем

Заметьте, AV_77, вы не объяснили непонятное мне место словами самого же Куроша, нет! Вы написали дополнительное, пусть вам кажущееся очевидным, рассуждение и этим вы и признали недостаточность объяснения Куроша. (это место написано для почитателей классики)
Мало того, что Курош не потрудился в свою книгу очень нужную в учебниках высшей алгебры главы о бинарных отношениях, так он при изложении теории, написанной им для студентов, а, значит, просто обязанной быть предельно понятной, соображений в духе рассуждений (хороших рассуждений, так мне не хватавших рассуждений) AV_77. Он писал учебник, а не сборник ребусов. И, несмотря на то, что Brukvalub и счел (правда ошибочно, но как это докажешь) меня троллем, я и ему хочу сказать большое спасибо за его тоже, так сильно не хватавший мне для понимания "кривости" моего доказательства, нелепый вопрос.
Так. Теперь по существу. Я опишу картину, которая возникла в данный момент времени после этих обсуждений. А вы исправьте, пожалуйста, мое, наверное, последнее заблуждение в этой теме. Вот я написал с таким трудом разъясненное (хотя само разъяснение заняло 3 пункта) разложение группы $G$ по подгруппе $A$:
$G=\{A, g_{1}^{(1)}A, g_{2}^{(1)}A,\ldots, g_{i-1}^{(1)}A\}$, здесь каждый элемент $x$ попадет в определенный класс. Это ясно. Но кто мне помешает взять за образующие элементы смежных классов другие элементы группы и написать такое разложение: $G=\{A,g_{1}^{(2)}A,g_{2}^{(2)}A,\ldots, g_{i-1}^{(2)}A\}$? Здесь, также, каждый элемент входит в определенный класс Первые сопряженные классы этих разложений совпадают, ежу понятно. Если бы всегда $i$ равнялось двум, тоже все бы было очевидно: Элементы не вошедшие в смежный класс $A$, автоматически попадают в оставшийся единственный смежный класс. Все замечательно. Но ведь $i$-то может быть и больше двух! И как тогда рассуждать?

[AGu]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1000020 писал(а):

AGu в сообщении #999859 писал(а):

«каждый элемент принадлежит какому-то классу».

Да это-то я уже понял.

Виноват. Мне показалось (и я даже был уверен), что проблема ровно в этом. И та моя насмешка была по этому же поводу. Выходит, промахнулся. Беру свою «весну» взад.

[ex-math]

Sinoid
Классы либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому если элемент из $g_i^{(1)}A$ попал в $g_j^{(2)}A$, то эти классы совпадают.

-- 04.04.2015, 17:55 --

Прочтите все же где-нибудь про отношение эквивалентности и докажите основные свойства классов эквивалентности. Это очень широко применяемая конструкция.

[AV_77]

Sinoid в сообщении #1000020 писал(а):

Заметьте, AV_77, вы не объяснили непонятное мне место словами самого же Куроша, нет! Вы написали дополнительное, пусть вам кажущееся очевидным, рассуждение и этим вы и признали недостаточность объяснения Куроша. (это место написано для почитателей классики)

Вы так ничего и не поняли. Жаль.

[AGu]

Вот как это недоразумение выглядит в моих глазах.

ТС изложил (схематично и сумбурно) идею доказательства некой классической теоремы. Идея верная, там все в порядке, все он правильно понимает, и все это видят. Но всех удивляет сама схема, сама идея. Она безошибочная, но она откровенно дурацкая по сравнению со всем (кроме ТС) понятной и совершенно прозрачной схемой и идеей классического доказательства. И все тут же начинают (это вполне естественно) объяснять последнее, не сказав первое: ответ на самый первый вопрос ТС — «да, ТС, Вы все правильно понимаете, Ваша схема безошибочна». Это точный ответ, но не полный. Более полный ответ: «да, Ваша схема безошибочна, но она дурацкая». Но и этот ответ неполный. Полный ответ: «да, Ваша схема безошибочна, но она дурацкая, потому что...» и т.д. Вот и все дела. Наша ошибка была в том, что мы сразу начали с «потому что». А надо было начать с «да».

[mihailm]

Sinoid в сообщении #1000020 писал(а):

После первого моего поста на меня посыпалась куча насмешек: как вы, такой-сякой смеете разбираться в Куроше! В него нужно безоговорочно верить, нужно иметь в голове дословные его доказательства, ну или не обязательно его, а, вообще, заучить какое-нибудь доказательство на уровне буковок и запятых и, например, на экзамене, тебя спросят, а ты с выражением, как в четвертом классе, и выложишь это доказательство и получишь пятерочку в зачетку! Ну как удобно жить!...

Не передергивайте, никто не говорил не надо разбираться, а говорили не надо сомневаться. А в остальном Sinoid, именно так! Не понимаешь - повторяй за старшими (наизусть), понимание после придет. Не надо вот этого - путь свой в алгебре, свой путь надо в жизни иметь.

[AGu]

mihailm в сообщении #1000163 писал(а):

Не понимаешь - повторяй за старшими (наизусть), понимание после придет.

Надеюсь, это была шутка. Вы, должно быть, хотели сказать: не понимаешь — не обвиняй, а старайся понять. Собственно, ТС так и поступал, но в свойственной ему манере. Постарался понять и даже понял, но не то и не так.

[mihailm]

Почему шутка-то? Понимание такая же иллюзия, как и непонимание

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Вспомнился анекдот про Брежнева, за которого много пили на грузинской свадьбе, произнося тост за тостом в стиле: "Выпьем за дорогого Леонида Ильича, но не потому, что он Генеральный секретарь КПСС",..."Выпьем за дорогого Леонида Ильича, но не потому, что у него самые густые брови"..."Выпьем за дорогого Леонида Ильича, но не потому, что он 5 раз Герой Советского Союза"...
А почему же мы все время за него пьем?
"Выпьем за дорогого Леонида Ильича потому, что он лучший в мире колхозник: только он сумел на такой Малой земле вырастить Такой Большой Урожай!!!"
Теперь я сомневаюсь, что Леонид Ильич - лучший в мире колхозник. Здесь из несуществующей проблемы сумели нафлудить аж 4 стр. "умностей"!!!

[Sinoid]

ex-math в сообщении #1000027 писал(а):

Прочтите все же где-нибудь про отношение эквивалентности и докажите основные свойства классов эквивалентности. Это очень широко применяемая конструкция.

Это может обернуться отвлечением, в лучшем случае, на полгода на теорию множеств, например, Кантора. А вы представляете, какие тараканы возникнуть у меня в голове при этом! Я, конечно, займусь и теорией множеств, только попозже. Вообще-то я занимался ТФКП, только зашел в тупик, задачи не идут. Дай, думаю, отвлекусь.

Kras в сообщении #999567 писал(а):

Sinoid в сообщении #999557

писал(а):
но с чего-то же надо начинать!
Начните с Алексеева-Арнольда.

А не факт, что у меня и от этой книги не возникнет подобных мыслей.

mihailm в сообщении #1000163 писал(а):

а говорили не надо сомневаться

Не надо сомневаться - это понятие, относящееся к религии, но если ты серьезно пытаешься изучить науку, ты обязан пропускать каждую букву через, пусть еще не совершенную, но свою, призму анализа.

mihailm в сообщении #1000163 писал(а):

Не понимаешь - повторяй за старшими (наизусть)

До гробовой доски, что ли?

ex-math в сообщении #1000027 писал(а):

Классы либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому если элемент из $g_i^{(1)}A$ попал в $g_j^{(2)}A$, то эти классы совпадают.

Я, кажется, понял: я смотрел на теорему "классы либо совпадают либо не имеют общих элементов" слишком узко, я считал ее доказанной только в пределах одного конкретного, фиксированного разложения группы на смежные классы. А, оказывается, она справедлива и для, вроде бы разных, а потом оказывающихся совпадающими, разложений. А, именно, я считал так: ага, вот беру запись

Sinoid в сообщении #1000020 писал(а):

$G=\{A, g_{1}^{(1)}A, g_{2}^{(1)}A,\ldots, g_{i-1}^{(1)}A\}$

его различные классы не пересекаются, а классы с общим элементом совпадают, беру запись

Sinoid в сообщении #1000020 писал(а):

$G=\{A,g_{1}^{(2)}A,g_{2}^{(2)}A,\ldots, g_{i-1}^{(2)}A\}$

и для этой записи различные классы не пересекаются, а классы с общим элементом совпадают. Но я никак не мог понять, что это же самое справедливо и для классов сперва кажущихся разными, а потом оказывающимися совпадающими разложениями группы на смежные классы, (видимость различности возникает из-за взятия попарно различных образующих классов в различных записях), а именно: беру, к примеру, второй смежный класс первой записи: $g_1^{(1)}A$, покажу, что во второй записи существует класс, в точности совпадающий с классом $g_1^{(1)}A$ (понятно, что рассуждения похожи на рассуждения из учебников, но так, тренировки, контроля ради). В классе $g_1^{(1)}A$ существует элемент $b$, ему принадлежащий. Пусть $b=g_1^{(1)}a^{(1)}$, где $a^{(1)} \in A$. Обратно, во второй записи существует класс $g_k^{(2)}A$, содержащий $b$. Пусть $b=g_k^{(2)}a^{(2)}$, где $a^{(2)} \in A$. Тогда $g_1^{(1)}a^{(1)}=g_k^{(2)}a^{(2)}$, или $g_k^{(2)}=g_1^{(1)}a$, где $a\in A$. Таким образом, класс из второй записи, содержащий элемент $b$, превращается (брюки превращаются, превращаются брюки ) в $g_k^{(2)}A=g_1^{(1)}aA=g_1^{(1)}A$, в исходно взятый класс первой записи. И получаем нужное равенство как множеств смежных классов первой и второй записей. Верно?

[AV_77]

Верно. Это именно то, что сказано у Куроша - классы либо не пересекаются, либо совпадают. Хотя до полного понимания вы еще не добрались.

[mihailm]

Sinoid в сообщении #1000697 писал(а):

...

mihailm в сообщении #1000163 писал(а):

Не понимаешь - повторяй за старшими (наизусть)

До гробовой доски, что ли?...

До понимания, повторять надо.

[Kras]

Sinoid в сообщении #1000697 писал(а):

mihailm в сообщении #1000163
писал(а):
Не понимаешь - повторяй за старшими (наизусть)
До гробовой доски, что ли?

Запоминать не нужно даже идеи, и уж тем более - тексты доказательств. Понимание - это способность думать самостоятельно на заданную тему.

Sinoid в сообщении #1000697 писал(а):

Sinoid в сообщении #1000020

писал(а):
$G=\{A, g_{1}^{(1)}A, g_{2}^{(1)}A,\ldots, g_{i-1}^{(1)}A\}$
его различные классы не пересекаются, а классы с общим элементом совпадают

Классы по одной и той же подгруппе или не пересекаются или совпадают (а классы по разным подгруппам вполне могут пересекаться). Но этот факт относится также и к бесконечным группам. Поэтому мне не совсем ясно зачем вы пишете каждый раз $G=\{A, g_{1}^{(1)}A, g_{2}^{(1)}A,\ldots, g_{i-1}^{(1)}A\}$. Левое разложение бесконечной группы может иметь как конечное число классов, так и бесконечное. Я считаю, что доказывать нужно общий случай.

[Sinoid]

Kras в сообщении #1000737 писал(а):

Поэтому мне не совсем ясно зачем вы пишете каждый раз $G=\{A, g_{1}^{(1)}A, g_{2}^{(1)}A,\ldots, g_{i-1}^{(1)}A\}$.

Я же писал, недопонимание было из-за возможности неоднозначного выбора образующих элементов классов, верхние индексы-это допущение возможности двоякости смежных классов как множеств.

Kras в сообщении #1000737 писал(а):

Я считаю, что доказывать нужно общий случай.

Это конечно, но у меня-то первоначальная задача была доказательство теоремы Лагранжа, теоремы о конечных группах, но это, безусловно, суживает теорему о разложении группы на сопряженные классы.

Kras в сообщении #1000737 писал(а):

Левое разложение бесконечной группы может иметь как конечное число классов, так и бесконечное.

Если число классов бесконечно, я, понятно, не напишу $g_{i-1}^{(1)}A$ ну, или, устремлю $i$ в бесконечность (аккуратно).
А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, приведенными на этой странице, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы о возможности единственного разложения конечной группы на сопряженные классы (к примеру, для людей, незнакомых с бинарными отношениями), ведь AV_77 показал возможность такого разложения, а ваш покорный слуга показал единственность такого разложения?

[AGu]

Sinoid в сообщении #1000946 писал(а):

А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы

ДА!!!