Группы и подгруппы

[Geen]

Hasek в сообщении #998720 писал(а):

Brukvalub в сообщении #998681 писал(а):

Эти классы для разных элементов или совпадают, или не пересекаются

Подскажите, пожалуйста, почему для разных элементов смежные классы могут совпасть? Не очень это понимаю.

Потому что если они все не совпадают, то каждый класс смежности состоит ровно из одного элемента.

[iifat]

Sinoid в сообщении #998661 писал(а):

"Положим, что путем конечного числа таких операций мы исчерпаем все элементы группы $G$", а из чего видно, что исчерпаются именно все элементы группы, ИМХО, не понятно

Таки что вам непонятно? Раз речь идёт о порядках, значит, группы конечны. Вам непонятно, что имея конечное количество яблок и съедая каждое утро хоть по одному, мы когда-нибудь съедим все?
Второе процитированное мне нравится больше. По вопросу

Sinoid в сообщении #998661 писал(а):

не вижу здесь опять-таки доказательства того, что любой элемент группы обязательно попадет в определенный смежный класс

Это элементарное доказательство вам уже сказали.
Разумеется, можно и должно искать свои пути. Не стоит только объявлять чужую работу непонятной.

Hasek в сообщении #998720 писал(а):

почему для разных элементов смежные классы могут совпасть?

Ну вот представьте, у нас в подгруппе хотя бы два элемента. Тогда каждый элемент умножается на первый, потом на второй — и в классе тоже два элемента.

[Brukvalub]

Например, все элементы подгруппы, по которой строятся смежные классы, порождают один и тот же смежный класс - саму эту подгруппу.

[Hasek]

Geen в сообщении #998724 писал(а):

Потому что если они все не совпадают, то каждый класс смежности состоит ровно из одного элемента.

iifat в сообщении #998742 писал(а):

Ну вот представьте, у нас в подгруппе хотя бы два элемента. Тогда каждый элемент умножается на первый, потом на второй — и в классе тоже два элемента.

Brukvalub в сообщении #998791 писал(а):

Например, все элементы подгруппы, по которой строятся смежные классы, порождают один и тот же смежный класс - саму эту подгруппу.

Понял, разобрался. Спасибо!

[Sinoid]

Доброго времени суток! Вот наконец-то и я! Надеюсь, вы меня не оставите в гордом одиночестве наедине с моим невежеством и вступите со мной в диалог. Напишу еще раз очень подробно мое рассуждение. Может, кто-нибудь, наконец-то, укажет конкретно пальцем, что в том-то том месте есть такие-то такие ошибки. Не отхождения от линии классиков, а именно грубые, недопустимые ошибки. Итак, пусть $A=\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$- подгруппа группы $G$. Среди элементов $a_1,a_2,\dots, a_n$ есть, понятно, единичный элемент $e$. Далее, выберу в группе $G$ элемент

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

$x$

, не принадлежащий подгруппе $A$
и как только я увидел этот

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

элемент $x$

, этот

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

элемент $x$

мне тут же не понравился! (шутка: все элементы группы равноправны) И мое неприязненное отношение к этому элементу $x$ выразится позже. Далее, да, может случиться как полагают Смирнов и Курош, что после выполнения

(Оффтоп)

Внимание! Все, что исходит с моего компа, не скачивать: у меня вирус!

все элементы группы $G$ точно распределятся по классам смежности:
$G=\{A,g_1A,g_2A,\dots, g_{i-1}A\}$. Чем уж таким особым эта запись отличается от Смирнова:

(Оффтоп)

Внимание! Все, что исходит с моего компа, не скачивать: у меня вирус!

Чтобы все было как на ладони, я последнее равенство разверну:
$G=\{{\{a_{1},a_{2},\ldots, a_{m}\},\{g_{1}a_{1},g_{1}a_{2},\ldots, g_{1}a_{m}\},\ldots,\{g_{i-1}a_{1},g_{i-1}a_{2},\ldots, g_{i-1}a_{m}\}\}$
присвою этой записи номер (1)
И вот тут-то и проявится мое неприязненное отношение к

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

элементу $x$

: я в качестве элементов, образующих сопряженные классы ни разу не возьму этот элемент $x$, что, однако, не помешает мне быть уверенным, что элемент $x$ попадет в какой-нибудь, а, значит, и единственный, класс сопряженности. Однако, ни что не запрещает в доказательстве многоуважаемых авторов книг случиться совершенно другой ситуации:
$G=\{\{a_{1},a_{2},\ldots, a_{m}\},\{g_{1}a_{1},g_{1}a_{2},\ldots, g_{1}a_{m}\},\ldots,\{g_{i-1}a_{1},g_{i-1}a_{2},\ldots, g_{i-1}a_{m}\},\underset{\mbox{r элементов}}{\underbrace{b_{1},b_{2},\ldots, b_{r}}}}\}$, где $r$,как сказано в первом посте, меньше $m$. Присвою этой записи номер (2). И где это в построенных классах сопряженности виден элемент $x$ ? Я специально выбрал $x\notin A$, потому элемент $x$ отсутствует в первой фигурной скобке записи (2) (это-тавтология, понятно), я специально выбрал все образующие элементы $g_t$, $t=1,2,\dots, i-1$ отличными от $x$. И все! Элемент $x$ вообще исчез из вида. Где элемент $x$: во второй, пятой, десятой фигурной скобке записи (2)? А почему элемент $x$ не может оказаться одним из $b$ в записи (2)? И вот именно то, что так быть не может, и обосновывается в первом моем посте этой темы.
Еще раз сделаю акцент:

AV_77 в сообщении #998664 писал(а):

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

Так правильно, только вы за образующий элемент смежного класса $xA$ берете сам же элемент $x$ и получаете опять же $x \in xA$, это мне, по крайней мере, сейчас, представляется как "масло масляное". А вот если все образующие элементы смежных классов отличны от $x$?

Brukvalub в сообщении #998702 писал(а):

после его прочтения у начинающего непременно возникнет масса нелепых вопросов

Во-первых, я и не претендую на включение "моего" доказательства в учебники, я его придумывал исключительно для себя, но при этом, согласитесь, неплохо, если у какого-нибудь человека возникнут подобные сомнения и он, прочитав эту тему, по-другому взглянет на эту тему и по-другому взглянет на проблему, во-вторых, какая такая

Brukvalub в сообщении #998702 писал(а):

масса нелепых вопросов

может прийти в голову при взгляде на конструкцию $G=\{\{a_{1},a_{2},\ldots, a_{m}\},\{g_{1}a_{1},g_{1}a_{2},\ldots, g_{1}a_{m}\},\ldots,\{g_{i-1}a_{1},g_{i-1}a_{2},\ldots, g_{i-1}a_{m}\},\underset{\mbox{r элементов}}{\underbrace{b_{1},b_{2},\ldots, b_{r}}}}\}$, которую, несмотря на свою противоречивость, обнаружившуюся позже, бери в руки и крути как хочешь, я представить не могу. Может быть вы, Brukvalub, не сочтете за труд и приведете хотя бы один из таких нелепых вопросов? Вы, Brukvalub, прекрасно поняли "мое" доказательство и для вас оно такое же верное, как и доказательства Куроша и Смирнова

mihailm в сообщении #998666 писал(а):

Sinoid, вы в упор не видите нормальных доказательств в сочинениях классиков

я не хочу слепо повторять рассуждения классиков и притворяться (я ни на кого не намекаю), что мне все понятно. Я хочу понимать каждое слово, каждую букву, возникающую у меня в голове при математических рассуждениях.

[AGu]

(Оффтоп)

Весна...

[Brukvalub]

Sinoid в сообщении #999440 писал(а):

...Может быть вы, Brukvalub, не сочтете за труд и приведете хотя бы один из таких нелепых вопросов? ...

Первый из нелепых вопросов: "вроде, при изучении бинарных отношений, объясняли, что отношение эквивалентности приводит к однозначному разбиению множества на классы эквивалентности, отношение "два элемента лежат в одном смежном классе по подгруппе" является отношением эквивалентности... Так как же может получиться, что при таком разбиении останутся "лишние элементы"? Бред какой-то...

[AV_77]

Sinoid, бросьте вы это дело. Если вы на таких простейших вещах спотыкаетесь, то даже страшно подумать, что будет дальше.

Пусть $G$ --- наша группа. Пусть $A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ --- ее подгруппа.
1. Пусть построено смежные классы $A_1 = x_1A$, $A_2 = x_2A$, $\ldots$, $A_m = x_mA$. Эти смежные классы попарно не пересекаются и каждый из них содержит $n$ элементов. Следовательно, $|A_1 \cup \ldots \cup A_m| = nm$.
2. Предположим, что $B = G \setminus (A_1 \cup \ldots \cup A_m) \neq \varnothing$. Тогда $B$ содержит некоторый элемент $x$. Все элементы множества $x A$ необходимо различны --- если $xa_i = x a_j$, то, умножая на $x^{-1}$ слева получим $a_i = a_j$.. При этом ни один элемент из множества $xA$ не лежит в уже построенных смежных классах, так как, в противном случае, сам элемент $x$ лежал бы в одном из ранее построенных смежных классах --- если $xa_i \in A_j = x_jA$, то $xa_i = x_j a_r$ для некоторого $r$, но тогда $x = x_j a_r a_i^{-1} \in x_jA$. Это означает, что $|B| \geq n$, то есть если $B$ не пусто, то необходимо $|B| \geq n$.
3. Выделяем новый смежный класс $A_{m+1}$ и возвращаемся к ситуации в пункте 2.
4. Если $B$ пусто, то мы построили все смежные классы, каждый из которых содержит по $n$ элементов. Значит, $N = mn$.

[Sinoid]

Brukvalub в сообщении #999478 писал(а):

"вроде, при изучении бинарных отношений,

Что у Куроша, что у Смирнова бинарные отношения не рассматриваются. Я про отношения имею только поверхностные представления. У нас получилось приблизительно, что вы все ЗУ и остальные как бы одиннадцатиклассники пояснили мне, как бы второкласснику, что произведение двух чисел можно представить определенным интегралом. Это все у меня не от неумения пользоваться знаниями, а от узкого их кругозора. AV_77
рассуждал с оглядкой на мысль

Brukvalub в сообщении #999478 писал(а):

что отношение эквивалентности приводит к однозначному разбиению множества на классы эквивалентности

мне же это соображение не пришло в голову по причине смутного представления о бинарных отношениях. Еще раз подтверждение того, что перед тем, как помогать, нужно интересоваться у ТС об его уровне знаний.

-- 03.04.2015, 02:07 --

И, кстати, что у Коруша, что у Смирнова соображениями, похожими на соображения уважаемого AV_77 и близко не пахнет.

[Kras]

Еще раз подтверждение того, что теория множеств - это очень важный раздел. Особенно там, где про бинарные отношения...

[Sinoid]

Kras в сообщении #999554 писал(а):

Еще раз подтверждение того, что теория множеств - это очень важный раздел

Так любой раздел математики-очень важный раздел, но с чего-то же надо начинать! А теория множеств ну очень тесно связана с математической логикой и, поди, разберись, какой из этих разделов важнее!

[Kras]

Я совершенно не понимаю, зачем вам потребовалось читать Куроша. Про учебники Куроша всё уже сказано неоднократно.

Sinoid в сообщении #999557 писал(а):

но с чего-то же надо начинать!

Начните с Алексеева-Арнольда.

Sinoid в сообщении #998529 писал(а):

порядок любой подгруппы делит порядок группы

Это называется теорема Лагранжа. Как я уже сказал, она легко доказывается в 'ответах и решениях' к №60 (никаких сложностей нет, там нужно знать только деление с остатком), но только для циклических групп. В общем случае она доказывается в § Смежные классы, после того как установлен следующий факт

Цитата:

...левые смежные классы, порождённые любыми двумя элементами, либо не пересекаются, либо совпадают, и мы получаем разбиение всех элементов группы $G$ на непересекающиеся классы. Это разбиение называют левым разложением группы $G$ по подгруппе $H$.

И всё это абсолютно бесплатно и даже вроде бы без применения теории множеств...

[Sinoid]

Kras в сообщении #999567 писал(а):

Я совершенно не понимаю, зачем вам потребовалось читать Куроша. Про учебники Куроша всё уже сказано неоднократно.

Во-первых, мне Курош попался сто лет назад, когда выбор доступных книг исчислялся единицами. Я тогда про бинарные отношения и не слыхивал, самого этого словосочетания. И вот принялся я этого Куроша дотошно изучать. Читаю, читаю, бах! Какое-нибудь подобное соображение пришло в голову, сидишь, сидишь и так крутишь и так, понимания все не приходило, плюнешь, дальше начнешь читать, а червячок-то внутри сидит: целостность понимания-то распалась! Вот сейчас чуть-чуть знаний добавилось, дай, думаю, по-новому взгляну на старые тупики. Во-вторых, если не секрет, а что именно сказано про учебники Куроша? Про Зорича здесь на каждом шагу пишут, что у него там косяк, там, а вот про Куроша ни разу не видел.

[Brukvalub]

Курош писал прекрасные учебники, сейчас они немного устарели, зато написаны они были с любовью и уважением к начинающему математику, в отличие от многих нынешних учебников, в которых главным зачастую является стремление автора "ученость показать".. Кстати, есть такая байка: Курош несколько раз в разных ситуациях говорил, что в каждом учебнике по математике на первых 13 стр. обязательно есть опечатка и доказывл свое "правило 13 стр." примерами. Когда выходил очередной его учебник, многие кидались проверять этот закон на самом Куроше. Закон выполнялся!

[Sinoid]

Brukvalub в сообщении #999706 писал(а):

в каждом учебнике по математике на первых 13 стр. обязательно есть опечатка

Когда я решаю какой-либо задачник, читаю учебник с задачами, я прорешиваю все задачи, мне не попадалось ни одной книги без опечаток в ответах. Особенно много их в книге А.А. Гусака Пособие к решению задач по высшей математике 1968 года.