Знаменитые Теоремы Кантора: нематематические аспекты

[Som]

Признаюсь, сначала хотел создать свой топик по теоремам Кантора о несчетности, но, как раз в это время, разгоралась дискуссия : Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?. Когда ее спустили в Пургаторий, решил поискать по форуму темы, в которых уже встречалось словосочетание "Теорема Кантора". Оказалось, 27 страниц, выписал самые близкие по смыслу:

(Оффтоп)

Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?
Теорема Кантора о несчетности вещественных - научный миф?
Доказательство теоремы Кантора некорректно
Доказательство Кантора
Помогите разобраться (несчетность по Кантору)
Вопрос по диагональному методу Кантора
Счет и числа.
Для всех тех, у кого несчётность R вызывает сомнения
Теорема Кантора: конец векового спора
Конструктивная логика, матанализ и проч. (продолжение)
Трансфинитная индукция и непротиворечивость теории множеств
ZFC и категорная теория множеств противоречивы.

Прочитал все, понял, что я не первый и не последний. Передумал создавать очередную тему (в математическом разделе) - все-равно снесут в пургаторий.
Я понял, что в рамках математической "цензуры", даже поднимать эти вопросы бессмысленно.
Поэтому решил открыть тему в "Свободном полете", чтобы выйти за рамки строго математических конфликтов и на более общем уровне, проанализировать, в меру сил, причины, почему множество людей интуитивно, инстинктивно, в соответствии со своей логикой и т.п. причинами, не приемлет доказательства Кантора.
Сразу предупреждаю, эта тема не предназначена для опровержения пары этих теорем о несчетности, как и для их доказательства.
Тема, в основном, посвящена критическому взгляду на них, причинам, почему часть людей не верит в эти теоремы (даже имея математическое образование). Так же она посвящена нематематическим, а например, психологическим, социологическим, педагогическим, методологическим и т.п. последствиям, которые существование этих людей порождает.
Но, разумеется, сам предмет (т.е. теоремы Кантора о несчетности) и краткие аргументы о их слабых (или сильных местах), думаю, обсуждать дозволительно. Хотя бы, чтобы более четко и формально обозначить конкретные точки, пункты разногласий, их формализации и обобщения.

Начать хотелось бы с одного любопытного наблюдения из указанных тем. Люди, которые критично относятся к теоремам Кантора, по большей части признают существование действительных чисел, несчетных множеств, в общем, той или иной не эквивалентности некоторых бесконечных множеств. Т.е. они признают доказываемое утверждение: "бесконечные множества не эквивалентны", или "множество действительных чисел - нечто большее (можно обозвать это свойство "несчетностью") по отношению к натуральным (можно обозвать это свойством "счетности") числам.
Они считают, что существует некие свойства, различающие бесконечные множества, разделяющие их на некие классы, но не верят, что предложенный Кантором способ - единственно верный, а потому - правильный.
Они просто не верят в предлагаемый Кантором метод доказательства утверждения, о неэквивалентности бесконечных множеств. Вывод, представляется интуитивно верным, в какой-то части. Все их претензии сводятся к не категоричности доказательства Кантора, а не к его выводам. Само доказательство ущербно, а не то, что оно пытается доказать !.

Основные претензии касаются именно самих формулировок теорем.
К примеру, из последней темы:
aa_dav писал(а):
"Если мы хоть на секунду предположим, что в табличке оказались действительно все числа с отрезка $(0,1)$, то требование выписать число, которое ни в одной цифре не равно каждому из них.... да да да, противоречиво. Это то же самое что получить число, принадлежащее отрезку $(0,1)$, которое от любого числа из этого отрезка отлично, т.е., и в т.ч., не равно самому себе.
…
Именно в этом и состоит центральная мысль первопоста - если мы допустили, что отрезок перечислен, то требование найти в таблице число не равное любому из таблицы превращается в требование найти число не равное самому себе. Это не может быть использовано в качестве доказательства.
…
Проблема здесь не в том что возникает противоречие, проблема в том с чем это противоречие возникает. На самом деле возможны (или по другому - в теореме никак не обосновывается преимущество одного варианта перед другим) два варианта:
а) множество несчетно
б) такое число не существует
…
Нет, просто момент когда вы вступите в противоречие "задвинут в бесконечность", поэтому вы его не ощущаете.
…
Вопрос тут по видимому в том, что можем ли мы продолжать доказательство от обратного, если предположение о противном вычёркивает из реальности инструмент доказательства."
…

Примерно, те же претензии высказаны применительно ко второй теореме Кантор из более древней темы (мне понравилось, что автор схватил суть недовольства):
Доказательство Кантора. Sed писал(а):
"Теперь мне предельно ясно в чем ошибка. Из того, что $b \notin B$ никак не следует, что $b \in B$. И как я сразу не обратил внимание на странную запись $B=f(x)=\{x \in A | x \notin B\}$ ? "

...

Как я и обещал, попробуем, выйти за пределы чисто математических аргументов, и формализовать и обобщить претензии к ним с более общих позиций.

Обобщением вышеизложенных цитат является, примерно, следующее утверждение : "Если, при доказательстве от противного, мы пришли к противоречию, то непонятно, какая именно посылка ложна: отрицание доказываемого утверждения, или логический вывод, который привел к противоречию (в данном случае существование некоего "неучтенного в списке числа)".
Т.е., если при доказательстве от противного используется две посылки: первая (список перечисляет все действительные числа) и вторая (существует число не вошедшее в список), то существует две абсолютно равноправные возможности: первая – список перечисляет не все действительные числа, вторая – построенное число в список не входит (т.е. не является тем, что по определению входит в список – действительным числом).
Сам список, как бы является определением того, что является "действительным числом" и если уж какое-то число не входящее в этот список построено, то оно явно не является "действительным", просто по определению.

Следует добавить, что если данная, конкретная, нумерация, не перечисляет все действительные числа, это еще не доказывает, что не существует некой нумерации, которая, все-таки их все перечисляет. Это не означает, что множество действительных чисел счетно, это означает, что метод Кантора опровергает всегда какую-то одну, конкретную нумерацию, а не все возможные. В самом деле, предъявляется некая частная нумерация, потом делается посылка №1 - в этой нумерации пронумерованы все действительные числа (это, по сути является определением того, что такое действительное число - это число входящее в этот список). Далее строится некое число, которое не вошло в список и утверждается, что оно действительное. А где доказательство ? Доказательство, что это построенное число именно действительное, а не какое - то другое, более абстрактное, и если оно все же действительное, то где доказательство того, что данный частный конкретный список не является ущербным по построению ? Таких "списков" несчетное множество и где гарантия, что среди них нет такого, который все-таки упорядочивает все действительные числа эквивалентно упорядочению всех натуральных ?

Более явно, это претензия к некоему логическому закону или скорее ограничение на применение некоторых правил логического вывода, которые, собственно, к самой теории множеств (ZF(C)) не имеют прямого отношения, но портят ее. Потому что они переплетены с теоретико-множественными формулами таким образом, что отделить свойства, определенные чисто логически от свойств, определенные с использованием аксиом ТМ практически невозможно.

Перейдем к примерам, которые используют метод доказательства Кантора для доказательства заранее нелепых утверждений. (Предупреждаю, что ссылки на цитаты из пургатория - фиг получишь - политика формула, поэтому ссылки идут только на страницы с указанными цитатами).
Из той же темы:
[url=http://dxdy.ru/topic76381-45.html] Доказательство Кантора.
Sed писал(а):
"Дано множество $a=\{1,2,3\}$
Выделим подмножество булеана - множество $b=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$.

(Оффтоп)

Для любого множества $a$ можно записать : $b=\{x\in 2^a |a<|x \cap a|<2\}$

И докажем, методом Кантора, что любая функция из $a$ в $b$ не является биекцией.

Теорема.
Любая функция из $a$ в $b$ не является биекцией.
Доказательство.
Возьмем произвольную $f: a \to b$ и докажем, что $f$ - не является биекцией, методом от противного.
Пусть $f$ - биекция.
По аксиоме выделения существует множество $B=\{x \in a | x \notin f(x)\} \sub a$.
Раз $f$ - биекция, существует какой-то элемент $c \in a$, соответствующий этому подмножеству, т.е. $f(c)=B$.
Возможны два варианта:
1) $b \in B$. С одной стороны, так как $B=f(b)$, это значит $b\in f(b)$. С другой стороны, поскольку $B$ содержит только элементы, удовлетворяющие условию $x \notin f(x)$ $b$ тоже должно ему удовлетворять, т.е. $b \in B$, т.е. $b \notin f(b)$
2) $b \notin B$, то есть $b \notin f(b)$. Поскольку $B$ содержит все элементы, удовлетворяющие условию $x \notin f(x)$, то $b$ тоже должен ему принадлежать, т.е. $b \in B$.
В обоих случая получаем противоречие.
Значит, исходная посылка о то, что $f$ биекция неверна.
$f$ была выбрана произвольно, значит любая функция из $f$ не может являться биекцией."
...
Смешное в том, что контпримером к этому доказательству методом Кантора является следующая $f$, т.е. биекция, ставящая в 1-1 соответствие элементы указанных множеств ($a=\{1,2,3\}$ и $b=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$):
$f=1\to \{1\}, 2\to\{2\}, 3\to \{3\}$

Ну и, собственно, аналогичные контрпримеры, именно, к методу рассуждения (доказательства) Кантора, а не к его выводам (!), можно привести к любой паре множеств, в одном из которых есть элементы, а в другом подмножества их содержащие.

В конце концов, доказательство Кантора доказывает, что между множеством $\mathbb{N}$ или $\omega$ и множеством их подмножеств, т.е. $\mathbb{R}$ или $P(\mathbb{\omega})$ нет эквивалентности, но она не доказывает, какое именно из этих множеств мощнее. Может множество всех подмножеств бесконечного множества менее мощно, чем исходное бесконечное множество. В общем, все та же неопределенность – какую из посылок при доказательстве от противного принять за истину. Возможно, дополнительными рассуждениями (?) и получится доказать, что мощность булеана больше мощности множества, но из самой теоремы Кантора (доказывающей всего лишь отсутствие биекции между ними), это не следует.

Что касается психологического аспекта проблемы.
Учитывая, что подавляющее большинство тем из 27 страниц поиска по запросу "Теорема Кантора" благополучно покоятся в Пургатории, есть два варианта:
1) Люди, которым метод доказательства "от противного" или "диагональный" метод не кажется универсальным (т.е. иногда да, иногда нет), не ощущается полным, интуитивно отрицается, как всеобъемлющий (но в частностях годный), значит эти люди ущербны, психически или психологически не здоровы, их надо лечить, методами психотерапии и психиатрии;
2) Эти люди вполне нормальны, но устройство их психики вредно влияет на окружение, их следует изолировать от общения (хотя бы на форуме), чтобы они не смущали умы еще не социализированных адептов.
Социологический аспект:
1). Этих людей следует вычислять на максимально ранней стадии и подвергать психологической коррекции, сначала мягкими способами – через авторитет коллектива, групповым убеждением, групповым игнорированием, в необходимых случаях – наказанием через группу и т.п. известными методами;
2) Эти люди способны образовать сеть, противостоящую существующей системообразующей иерархии смыслов, бороться с которой – все-равно, что с терроризмом или методами партизанской войны, они враги и их нужно просто уничтожать информационно (лишая доступа к высказыванию своей позиции), а в особо запущенных случаях - физически, как угрозу системообразующему мировоззрению;
3) К таким людям следует относится с пониманием, как к инвалидам и даже, местами, создавать им инфраструктуру "доступного города", чтобы они не чувствовали себя отверженными, позволять общаться на равных и прислушиваться к их мнению по некоторым вопросам.
4) Т.к. не существует никаких практических критериев отличить их истину от текущей истины, следует общаться с ними на равных и, возможно признать, в будущем, собственную "инвалидность" в некоторых суждениях, а может быть и в большинстве из них.

Педагогические:
1) Следует начинать преподавать классические способы рассуждения на стадии, когда психика и логика ребенка еще не совсем сформировалась, чтобы исключить в дальнейшем саму возможность иных форм рассуждений и сомнений в существующих классических формах. Программы следует формировать с детского сада на простых примерах, перманентно внедряя желаемые способы движения мыслей детям, всячески исключая и купируя проявления инакомыслия.
2) Следует поощрять разнообразие мысли и не показывать предпочтений, когда способы рассуждений детей отличаются, если оба вывода практичны и полезны. Мы не знаем, какие именно способы рассуждений, интуиции и сомнений, приведут в будущем к более совершенному, гармоничному , разнообразному и эволюционно успешному способу существования человека, какие упрутся в тупик, а какие проложат путь к новым дорогам.

Детально и предметно, пока не буду расписывать, и так получилось "много букав", для стартового поста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

На самом деле, Вы лукавите, обозначивая две темы для обсуждения. Для обсуждения проблем социализации (?!) людей, не способных воспринимать математические доказательства, незачем фиксироваться на теореме Кантора, да еще в таких деталях. Обсуждение же последних явно предназначено для другого раздела, где проблемы социализации избыточны. Как Вы справедливо заметили, таких тем в том разделе более чем достаточно, и финал у них однообразен.

Просьба определиться с целью обсуждения, исправить в соответствии нею стартовый пост и затем сообщить об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.