Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...

[Don-Don]

Произведение всех делителей некоторого натурального числа $N$ заканчивается на $399$ нулей.
На сколько нулей может заканчиваться число $N$?

Если разложить на простые множители

$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

Ясно, что тут завязано все на игре с $2$ и $5$.

Я пока что вижу вот что.$N$ имеет $m$ нулей в 2 случаях

1) если $k_2=m$, при этом $k_5\ge m$

2) если $k_5=m$, при этом $k_2\ge m$

Число делителей числа $N$ будет равно $n=(k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_p)+1$.

Верно, если да, то как дальше?

[ИСН]

Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?

[Don-Don]

ИСН в сообщении #977675 писал(а):

Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?

Спасибо.

$6$ делителей.

$n=(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Теперь будет верно?

Если да, то и в 1) и, и во 2) ситуации:

1) Число $N$ имеет $m$ нулей, если $k_2=m$, при этом $k_5\ge m$

2) Число $N$ имеет $m$ нулей, если $k_5=m$, при этом $k_2\ge m$

Справедлива оценка $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)\ge (m+1)^2$

Верно? Если да, то как дальше?

[provincialka]

Ну, попробуйте посчитать, сколько будет двоек и пятерок в "новом" числе $P(N)$. Кстати, можно рассмотреть только один случай (например, двоек больше), второй рассматривается аналогично.

[Don-Don]

provincialka в сообщении #977681 писал(а):

Ну, попробуйте посчитать, сколько будет двоек и пятерок в "новом" числе $P(N)$. Кстати, можно рассмотреть только один случай (например, двоек больше), второй рассматривается аналогично.

А что это за новое число $P(N)$?

[provincialka]

Don-Don в сообщении #977685 писал(а):

А что это за новое число $P(N)$?

Don-Don в сообщении #977673 писал(а):

Произведение всех делителей некоторого натурального числа $N$

Вы же его никак не обозначили.

[ИСН]

Не надо, не надо считать двоек. Чему вообще равно это произведение всех делителей $N$? Да.

[Don-Don]

ИСН в сообщении #977692 писал(а):

Не надо, не надо считать двоек. Чему вообще равно это произведение всех делителей $N$? Да.

В смысле -- чему? Некоторому натуральному числу, у которого такие же простые множители, но, вероятно в других степенях...
$2^{l_2}3^{l_3}5^{l_5}...p^{l_p}$

[ИСН]

Это хорошо. Но в каких степенях?
(Ну и... я вообще не думал бы об этом в терминах простых множителей. Но это уж как хотите.)

[Don-Don]

ИСН в сообщении #977719 писал(а):

Это хорошо. Но в каких степенях?
(Ну и... я вообще не думал бы об этом в терминах простых множителей. Но это уж как хотите.)

Если число делителей четно, то их можно разбить на пары $(d_i;\frac{N}{d-i})$.
Тогда произведение будет равно $N^{0,5n}$

А если нечетное, то не понятно -- как, а может ли вообще быть нечетное число делителей?

[svv]

В исключительных случаях. А в каких?

[ИСН]

Don-Don в сообщении #977737 писал(а):

Тогда произведение будет равно $N^{0,5n}$

Ну да, так и есть.

Don-Don в сообщении #977737 писал(а):

а может ли вообще быть нечетное число делителей?

Тоже очень интересный вопрос. Задумайтесь над этим. Попробуйте для примера ощупать какие-нибудь небольшие числа.

[Don-Don]

Например, $4$, его делители $1,2,4$. Значит может быть. Ну хорошо, пусть $n$ --нечетно. Тогда $n-1$ -- четно.
Тогда произведение будет равно $N^{0,5(n-1)}\cdot d_n$. Но как учесть этот последний делитель?

[svv]

А в каких случаях он возникает? Каков механизм его возникновения?

[Don-Don]

svv в сообщении #977763 писал(а):

А в каких случаях он возникает? Каков механизм его возникновения?

Мне кажется, что когда $N$ является квадратом некоторого числа. Только в этих случаях. А как доказать, что других нет?