Как можно математически записать фракталы?

[Igor_Dmitriev]

Просмотрел несколько книжек, но там просто объясняют, как получить фрактал.
И ни одной математической формулы для фрактала (кроме размерности) сходу вспомнить не могу.
Например, есть фрактал с размерностью $\ 1 < D < 2$. Как его записать формулой и как по нескольким последовательным точкам получить следующее значение с наперёд заданной точностью?

И ещё: почему комплексные итерации являются фракталами?

[Red_Herring]

Фракталы—это такие множества, которые как не увеличивай, будут выглядеть все также. В жизни: побережье Швеции ок Стокгольма (острова, между ними островки, островочки и островушечки), Канадский север (озера, озерки, озерочки, озерушечки). Математические фракталы строятся по-разному. Это и канторов континуум и ковер Серпинского и т.д. Многие фракталы поклучаются с помощью комплексных итераций.

Никаких общих формул нет и быть не может.

[Igor_Dmitriev]

Цитата:

Фракталы—это такие множества, которые как не увеличивай, будут выглядеть все также.

Да, я знаю. Поэтому и написал, что получить с опрделённой точностью.

Цитата:

Никаких общих формул нет и быть не может.

Интересуют фракталы с $\ 1 < D < 2$.
А где взять хотя бы какие-то формулы для таких фракталов?

[arseniiv]

Берёте описание и превращаете в формулу, чего делов-то?

А если вообще — не верю! Хотя бы теория IFS где-нибудь да выписана явно и преподробно. Порекомендую пока что не читанную мной книгу автора термина IFS Michael F. Barnsley Fractals Everywhere. Поглядел несколько страниц — вроде, серьёзная.

-- Пт янв 23, 2015 23:37:08 --

В частности, чтобы добить зайцев, треугольник Серпинского реализуем как IFS с тремя генераторами, насколько помню.

-- Пт янв 23, 2015 23:38:13 --

Зайцы оказались недобитыми. Что вы понимаете под $D$? Нецелых размерностей разных несколько есть.

-- Пт янв 23, 2015 23:40:39 --

Всё никак не остановлюсь печатать, какой ужас!

Igor_Dmitriev в сообщении #967318 писал(а):

И ещё: почему комплексные итерации являются фракталами?

Если я правильно протелепатировал, то с чего вы взяли? Не все. Вот поитерируйте прибавление константы.

[Pphantom]

Igor_Dmitriev в сообщении #967338 писал(а):

Интересуют фракталы с $1 < D < 2$.
А где взять хотя бы какие-то формулы для таких фракталов?

Ничего универсального, по уже изложенным выше причинам, не будет. Но, если так хочется, вот Вам конкретный пример ("функция Вейерштрасса"):

$$ W(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\cos a^k\, x}{b^k} $$

$a$ и $b$ - параметры.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Igor_Dmitriev
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Aritaborian]

Igor_Dmitriev, вы вообще в состоянии сформулировать, чего именно вы возжелали? Вынь да положь вам некую «формулу фрактала», ага. Только разновидностей этих фракталов наберётся с десяток-другой. Да, для некоторых из них можно написать что-то, что вы, возможно, сочтёте «формулой». Для других же потребуется описание, содержащее большее или меньшее количество слов человеческого языка или компьютерного кода.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да ла-адно, формула теории ZFC всё (что мы можем нарисовать на экране) стерпит!

(А представляете самый страшный кошмар любителя формул? Формула есть, но начинается она $\exists z_1\exists z_2\exists z_3\ldots$ )

( ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ )

Надо бы эту шутку отточить получше!

[ratay]

Red_Herring: "никаких формул нет" - это так, а вот "быть не может" - это вы зря. Подобные вопросы даже здесь на форуме появляются не первый раз, т.е. задача уже есть и рано или поздно будет решение (или его невозможность). Т.е. каким образом та или иная формула (ну назовем ее инициирующей, красота-то нужна) определяет соответствующий фрактал, алгоритм его построения, размерность (одну или несколько) и многое другое, чего заранее знать нельзя. Расширится и наше понимание фрактала, в общем, нас ждет много интересного.

[Red_Herring]

ratay я написал "общих формул", т.е. покрывающих и ковер Серпинского, и комплексные фракталы.

[ratay]

Ну значит так. Одним словом, область очень интересная и мало разработанная.

[Brukvalub]

ratay в сообщении #967549 писал(а):

Ну значит так. Одним словом, область очень интересная и мало разработанная.

Наоборот, область мало-мало-интересная и оттоптанная дешевым популизмом как поляна после "Нашествия".

[Red_Herring]

На самом деле нельзя говорить о единой области и тем более мешать в кучу настоящие исследования и дань моде.

1) Ф. возникают в комплексной динамике вполне естественно

2) Совершенно другие ф. (типа к. Серпинского) используются в работах ряда авторов построить анализ на ф., включая гармонический анализ.

[electric_retard]

(Оффтоп)

Где применяются на практике фракталы?