Как можно математически записать фракталы?

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #967855 писал(а):

Вот Oleg Zubelevich пишет—по существу следующее "получился странный аттрактор, не точка, не предельный цикл или тор, а неведома зверушка—значит хаос! А раз хаос—он фрактал!"

не надо перевирать мои слова
я сказал следующее:

Oleg Zubelevich в сообщении #967604 писал(а):

например, наличие в динамической системе аттрактора типа фрактала может свидетельствовать об очень сложном поведении траекторий (хаосе) . Кода траектории наматываются на такой атрактор, они вынуждены повторять его форму, и потому начинают вести себя очень сложно

и это в точности тоже самое, что писал на данную тему Роджер Темам в своей монографии:

Red_Herring в сообщении #967855 писал(а):

А то, что эргодичности в системе нет его не шибко колышет

а почему она там должна быть? с хаосом асоциирован большой комплекс явлений, который совсем не сводится к эргодичности. Эргодичность , кстати, сказать, определяется через инвариантную меру системы, а инвариантная мера есть не во всех системах. (в смысле, "хорошая" инвариантная мера не во всех системах есть, какая попало инвариантная мера есть в очень широком классе систем по теореме Боголюбова, но те меры практически бесполезны для динамики)
Более того, к хаосу относят явление ращепления сепаратрис в гамильтоновых системах близких к интегрируемым. Однако в окресности ращепившихся сепаратрис система не является эргодической.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #967877 писал(а):

с хаосом асоциирован большой комплекс явлений, который совсем не сводится к эргодичности.

Разумеется. Но суть здесь такая—вот такого чёткого определения хаоса (как, например, определения гильбертова пространства) нет и разные группы математиков употребляют его в разном смысле. То же самое относится и к фракталам (и я сомневаюсь, что Темам дает определение, что такое фрактал—исключая нецелую размерность). Тот же Темам просто говорит о хаосе и фракталах.

Это отнюдь не плохо, т.к. (по крайней мере сейчас) любое строгое определение не удовлетворило бы большее число математиков, чем удовлетворило бы.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Цитата:

Как расшифровывается инициал Б. в имени Бенуа Б. Мандельброта? «Бенуа Б. Мандельброт».

;-D

[Red_Herring]

(Aritaborian)

[Igor_Dmitriev]

Цитата:

Я так понял, книгу вы открывать не собираетесь? Это потому что она на английском, или формула аттрактора IFS вам не нужна, а фракталы, являющиеся аттракторами какой-нибудь IFS, вам не интересны? (Просто интересно. Если не хотите — не отвечайте.)

она на английском

[ratay]

Ну вот когда мы в проективной геометрии проецируем сферу на плоскость, мы видим, что отображение взаимно однозначно.
Для этого нужно новый элемент (бесконечная точка) и объемлющее пространство. Для фракталов новый элемент не нужен, нужно лишь объемлющее пространство с размерностью на единицу большей, и мы сможем взаимно однозначно спроецировать часть фрактала на весь фрактал (это применительно к ковру Серпинского и прочим, имеющим собственные имена и алгоритмы построения). Этого недостаточно?

[Евгений Машеров]

У меня вообще впечатление, что со словом "фрактал" произошло несчастье, подобное тому, что лет 50-60 назад произошло со словом "кибернетика" - оно превратилось в рекламный бренд, первоначальный смысл, вложенный в это слово, памятен только историкам науки, точного нового смысла не появилось, и употребляется исключительно в смысле "всё такое красивенькое" (иногда совершенно в несвязанном с какой-либо математикой смысле).
Может быть, в целях, отличных от рекламных или художественных, вообще его употреблять не стоит, пользуясь чем-то более конкретным - "самоподобие", "дробная размерность" и т.п.?

[ratay]

А как появится более-менее цельная теория - глядишь, и слово-то оправдается. Слово-то красивое.

[Red_Herring]

ratay
Я знаю о ф. появляющихся в комплексной динамике очень мало, но достаточно для того, чтобы увидеть что Ваше определение слишком ограничительно. Во-первых, для растяжения нам не нужно объемлющее пространство, но, во-вторых, Вы забыли про поворот!

А снежинку Коха Вы знаете?


Евгений Машеров
Согласен. Заодно запретим топологам употреблять слово "спектральный(ная,ное)"
—————

Кстати, вот пример явного фрактала, но с целой размерностью: если построить Канторов континуум, но делить отрезок в отношении $r:(1-2r):r$, по прежнему выбрасывая серединку, то фрактальная размерность будет $\ln 2/\ln (1/r)$; в частности для классического К.к. она будет $\ln 2/\ln 3$, а при $r=1/4$ она будет $1/2$. Тогда размерность прямого произведения этого К.к. на себя будет 1, но отрицать, что это ф. трудно.

[ratay]

Объемлющее пространство здесь нужно лишь для наглядности в смысле центральной проекции. А кручение - добавим возможность кручения, расширим множество объектов, соответствующих этому определению. Тогда и снежинка Коха, если мы начинаем строить ее на конечном отрезке (скажем, единичной длины) тоже соответствует этому определению.

[Red_Herring]

ratay
Ну хочется Вам определения. А куда это засунете?
http://www.math.ksu.edu/events/conference/ams_2012/Blaschke3a.png

(оно не проходит как img по пикселям)

[ratay]

Если мы хотим ограничиться красивыми картинками в Сети, тогда точные определения ни к чему. Если мы действительно хотим построить теорию, то без определений никак. Вполне возможно, что сейчас под названием "фракталы" объединяют совершенно разные объекты.
И еще: судя по тому, что вопросы по этой теме возникают не часто, но периодически, то интерес есть. А то, что ответов здесь они не находят, говорит лишь о том, что в этой теме копаться и копаться.

[arseniiv]

ratay в сообщении #968169 писал(а):

Если мы действительно хотим построить теорию, то без определений никак.

Вы хотите, я не ослышался? А если предоставляете это занятие другим, то и выбор определений отдайте им тоже.

[Red_Herring]

ratay в сообщении #968169 писал(а):

Если мы хотим ограничиться красивыми картинками в Сети, тогда точные определения ни к чему. Если мы действительно хотим построить теорию, то без определений никак. Вполне возможно, что сейчас под названием "фракталы" объединяют совершенно разные объекты.
И еще: судя по тому, что вопросы по этой теме возникают не часто, но периодически, то интерес есть. А то, что ответов здесь они не находят, говорит лишь о том, что в этой теме копаться и копаться.

Интерес много к чему есть. Но для того, чтобы строить ЕТФ (единую теорию фракталов) нужно как минимум чтобы интерес был у тех, кто ее может построить. А вот его-то и не наблюдается.

[ratay]

Отчего нет? Дорогу осилит идущий.