2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение04.10.2014, 13:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5625
А сами-то как думаете?
Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$
:mrgreen: сами придумали?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $\forall n \in \mathbb Z : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n$
Это неверно. Почему?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $x \in \{ x \in \mathbb R : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z \}$
Это просто некорректно. Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение04.10.2014, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19792
Уфа
Не знаю, как где принято писать после слова «ответ», но понятны будут два представления:
• Какое-то «простое» описание множества решений. Но если переменных несколько, надо сначала указать их порядок в решении.
• Какая-нибудь «попроще» из эквивалентных уравнению формул.

Смысла писать «$x\in\{\ldots\}$» не видно, потому что раз уж это формула, можно обойтись без всех этих скобок, или же не писать «$x\in{}$», т. к. икс — это и так единственная переменная, и и так ясно.

Теперь trivia: формула, эквивалентная уравнению, имеет свободными переменными только те, которые есть у самого уравнения, так что если в решении появляются какие-то параметры, все их вхождения в формулу должны быть связаны, и потому кванторы, связывающие параметры, должны стоять все слева. Это отметает варианты вида $\cdots\wedge\mathsf Qn\cdots$. Ну и насчёт выбора квантора Deggial написал.

И
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb Z$
Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 05:06 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Deggial в сообщении #915048 писал(а):
Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$
:mrgreen: сами придумали?

Не видел. Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z \qquad (\forall a \in \mathbb R, |a| \leqslant 1)$.
Придумал сам или нет --- решайте сами. Меня мягко говоря смущает отсутствие «знаков препинания» в формулах из того пособия. Я понимаю, что если предворительно оговорить «стандарт» записи, то тебя де-факто все понимают.
arseniiv в сообщении #915097 писал(а):
Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

Меня интересует именно правильность, а не понимаемость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 06:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31002
Qazed в сообщении #916813 писал(а):
Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 10:27 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
ewert в сообщении #916823 писал(а):
Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14415
Новомосковск
ewert в сообщении #916823 писал(а):
Qazed в сообщении #916813 писал(а):
Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.
Joker_vD в сообщении #916852 писал(а):
Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.
А здесь нет "для любого". Приведённая в цитате формула подразумевает $x\in\{(-1)^k\arcsin a+\pi k:k\in\matbb Z\}$, и читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 12:43 
Аватара пользователя


01/12/06
506
Кишинёв
$\sin x = a\ \Leftrightarrow\ x\in\left\{t\in\mathbb{R}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\left(t=(-1)^k \arcsin a + \pi k \right)\right\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14415
Новомосковск
gefest_md, можно и так. Но так обычно не пишут, потому что длиннее. Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 13:21 
Аватара пользователя


01/12/06
506
Кишинёв
Someone в сообщении #916894 писал(а):
Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

$x$ - это переменная, пробегающая множество что ли? Так $t$ такая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62676
Someone в сообщении #916874 писал(а):
читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

"Для любого целого $k$" - распространённое сокращение в кванторной записи:
$$\mathsf{Q}\,a\in\mathbb{S}\,\,\ldots\quad\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad\mathsf{Q}\,a\,\,(a\in\mathbb{S}\wedge\ldots).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19792
Уфа
Тут не так всё просто, кстати.$$\forall x\in A\;(\phi)\equiv\forall x\;(x\in A\to\phi)$$$$\exists x\in A\;(\phi)\equiv\exists x\;(x\in A\wedge\phi)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62676
Точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 21:58 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Спасибо всем за ответы, в продолжение темы: Практикуюсь в записи некоторых утверждений, прошу Вас прокомментировать.

Докажите, что если $a \vdots c$ или $b \vdots c$, то $(a \cdot b) \vdots c$


Утверждение: Докажите, что $(a \vdots c \vee b \vdots c) \iff (a \cdot b) \vdots c$
Док-во: $\sqsupset a \vdots c \Rightarrow \exists p \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot c) \cdot b = (p \cdot b) \cdot c \Rightarrow \\ \Rightarrow \exists (p \cdot b) \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot b) \cdot c : \Leftrightarrow (a \cdot b) \vdots c, \\ \sqsupset b \vdots c : \Leftrightarrow ... \text{ (аналогично)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 22:04 
Аватара пользователя


11/06/12
7049
Минск
Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 22:08 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Aritaborian в сообщении #923912 писал(а):
Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

Я Вас понял, спасибо.
$(a \vdots c \vee b \vdots c) \Rightarrow (a \cdot b) \vdots c$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group