Язык кванторов

[Deggial]

А сами-то как думаете?
Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):

$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$

сами придумали?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):

Ответ: $\forall n \in \mathbb Z : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n$

Это неверно. Почему?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):

Ответ: $x \in \{ x \in \mathbb R : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z \}$

Это просто некорректно. Почему?

[arseniiv]

Не знаю, как где принято писать после слова «ответ», но понятны будут два представления:
• Какое-то «простое» описание множества решений. Но если переменных несколько, надо сначала указать их порядок в решении.
• Какая-нибудь «попроще» из эквивалентных уравнению формул.

Смысла писать «$x\in\{\ldots\}$» не видно, потому что раз уж это формула, можно обойтись без всех этих скобок, или же не писать «$x\in{}$», т. к. икс — это и так единственная переменная, и и так ясно.

Теперь trivia: формула, эквивалентная уравнению, имеет свободными переменными только те, которые есть у самого уравнения, так что если в решении появляются какие-то параметры, все их вхождения в формулу должны быть связаны, и потому кванторы, связывающие параметры, должны стоять все слева. Это отметает варианты вида $\cdots\wedge\mathsf Qn\cdots$. Ну и насчёт выбора квантора Deggial написал.

И

Qazed в сообщении #915043 писал(а):

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb Z$

Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

[Qazed]

Deggial в сообщении #915048 писал(а):

Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):

$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$

сами придумали?

Не видел. Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z \qquad (\forall a \in \mathbb R, |a| \leqslant 1)$.
Придумал сам или нет --- решайте сами. Меня мягко говоря смущает отсутствие «знаков препинания» в формулах из того пособия. Я понимаю, что если предворительно оговорить «стандарт» записи, то тебя де-факто все понимают.

arseniiv в сообщении #915097 писал(а):

Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

Меня интересует именно правильность, а не понимаемость.

[ewert]

Qazed в сообщении #916813 писал(а):

Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

[Joker_vD]

ewert в сообщении #916823 писал(а):

Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.

[Someone]

ewert в сообщении #916823 писал(а):

Qazed в сообщении #916813 писал(а):

Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

Joker_vD в сообщении #916852 писал(а):

Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.

А здесь нет "для любого". Приведённая в цитате формула подразумевает $x\in\{(-1)^k\arcsin a+\pi k:k\in\matbb Z\}$, и читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

[gefest_md]

$\sin x = a\ \Leftrightarrow\ x\in\left\{t\in\mathbb{R}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\left(t=(-1)^k \arcsin a + \pi k \right)\right\}$

[Someone]

gefest_md, можно и так. Но так обычно не пишут, потому что длиннее. Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

[gefest_md]

Someone в сообщении #916894 писал(а):

Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

$x$ - это переменная, пробегающая множество что ли? Так $t$ такая.

[Munin]

Someone в сообщении #916874 писал(а):

читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

"Для любого целого $k$" - распространённое сокращение в кванторной записи:

$$\mathsf{Q}\,a\in\mathbb{S}\,\,\ldots\quad\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad\mathsf{Q}\,a\,\,(a\in\mathbb{S}\wedge\ldots).$$

[arseniiv]

Тут не так всё просто, кстати.

$$\forall x\in A\;(\phi)\equiv\forall x\;(x\in A\to\phi)$$

$$\exists x\in A\;(\phi)\equiv\exists x\;(x\in A\wedge\phi)$$

[Munin]

Точно.

[Qazed]

Спасибо всем за ответы, в продолжение темы: Практикуюсь в записи некоторых утверждений, прошу Вас прокомментировать.

Докажите, что если $a \vdots c$ или $b \vdots c$, то $(a \cdot b) \vdots c$

Утверждение: Докажите, что $(a \vdots c \vee b \vdots c) \iff (a \cdot b) \vdots c$
Док-во: $\sqsupset a \vdots c \Rightarrow \exists p \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot c) \cdot b = (p \cdot b) \cdot c \Rightarrow \\ \Rightarrow \exists (p \cdot b) \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot b) \cdot c : \Leftrightarrow (a \cdot b) \vdots c, \\ \sqsupset b \vdots c : \Leftrightarrow ... \text{ (аналогично)}$

[Aritaborian]

Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

[Qazed]

Aritaborian в сообщении #923912 писал(а):

Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

Я Вас понял, спасибо.
$(a \vdots c \vee b \vdots c) \Rightarrow (a \cdot b) \vdots c$