2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 14:21 


07/08/14
1907
Подскажите, каким образом из среднего Колмогорова $$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)
получается среднее арифметическое
$$M[X]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}
?
мне необходимо понять технику получения среднего показательного, надеюсь по аналогии со средним арифметическим вывести среднее показательное.
Или литературу подскажите, где это подробно разбирается.

Правильно ли я понимаю, что в случае показательной функции $$\exp(x), поскольку обратная функция
$$\phi^{-1}(\phi(\exp(x)))=\ln(x)
среднее показательной запишется в виде
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\ln\left(\frac{\ln(x_{1})+\ln(x_{2})+...+\ln(x_{n})}{n}\right)
?
или я должен получить функцию обратную в целом для выражения
$$\phi(x)=\frac{\exp(x_{1})+\exp(x_{2})+...+\exp(x_{n})}{n}

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 14:31 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск
А что вам неясно? Напишите (здесь) формулу среднего Колмогорова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 14:39 


07/08/14
1907
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)
обратная функция от суммы значений функций деленная на количество значений почему в случае $$\phi(x)=x равна среднему арифметическому (то есть функции в скобках), как это записывается подробно.
ведь в скобках - сумма значений $$x, а обратная функция суммы совсем не факт что такая же сумма (конечно это очевидно из графика функции, но хотелось бы в виде формул)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.08.2014, 14:45 
Модератор


20/03/14
7638
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

upgrade

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.08.2014, 16:23 
Модератор


20/03/14
7638
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2470
Физтех
upgrade в сообщении #893943 писал(а):
в случае $\phi(x)=x$

функция $\phi$, как и ее обратная $\phi^{-1}$, сопоставляют аргумент самому себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 16:58 


07/08/14
1907
а как это сопоставление (вывод среднего) выглядит для среднего арифметического?
так:

$$\phi(x)=1\cdot x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{1}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{1}+...+\frac{x_{n}}{1}}{n}\right

а если множитель перед $$x не $$1 а $$2

то так:

$$\phi(x)=2x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{2}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{2}+\frac{x_{2}}{2}+...+\frac{x_{n}}{2}}{n}\right

 i  Lia: Знак умножения пишется \cdot или не пишется вообще. Исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2470
Физтех
Еще раз:
ShMaxG в сообщении #893981 писал(а):
upgrade в сообщении #893943 писал(а):
в случае $\phi(x)=x$

функция $\phi$, как и ее обратная $\phi^{-1}$, сопоставляют аргумент самому себе.

Аргумент. Любой. Что на входе, то и на выходе. Хоть один икс, хоть сумма, хоть среднее, хоть какое.

-- Чт авг 07, 2014 18:08:12 --

upgrade в сообщении #893990 писал(а):
а как это сопоставление (вывод среднего) выглядит для среднего арифметического?
так:

$$\phi(x)=1\cdot x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{1}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{1}+...+\frac{x_{n}}{1}}{n}\right

Да.

upgrade в сообщении #893990 писал(а):
а если множитель перед $$x не $$1 а $$2

то так:

$$\phi(x)=2x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{2}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{2}+\frac{x_{2}}{2}+...+\frac{x_{n}}{2}}{n}\right

А тут ошибка, сами найдите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:18 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск
upgrade, этими умножением и делением на единицу вы себе только голову морочите. Оставьте, это всё пустое. Тождественное преобразование обратно самому себе и всё тут.
Теперь о случае $\varphi(t)=2t$. Обратная к ней функция $\varphi^{-1}(t)=\frac t2$, да. Но как это всё отражено в ваших выкладках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:28 


07/08/14
1907
то есть для
$$\varphi(x)=2x
среднее арифметическое будет таким
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\frac{1}{2}\left(\frac{2(x_{1})+2(x_{2})+...+2(x_{n})}{n}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i

для
$$\exp^x=\varphi(x)
$$x=\ln(\phi(x)) или тоже самое $$\varphi^{-1}(x)=\ln(\phi(x))

то есть такой будет вид
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\ln\left(\frac{\exp(x_{1})+\exp(x_{2})+...+\exp(x_{n})}{n}\right)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2470
Физтех
Теперь все ок, только во втором случае $\varphi^{-1}(x) = \ln{x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:33 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск
Давайте не будем пытаться объять необъятное. Для начала разберёмся с $\varphi(t)=2t$ (я специально пишу $t$, чтобы не путать с иксами). У вас ошибка. Найдите её.
UPD. Ага, нашли. Что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:36 


07/08/14
1907
понятно что для $$\varphi(x)=2x среднее $$\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i
я не пойму как двойка появляется

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:37 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск
upgrade в сообщении #894008 писал(а):
понятно что для $\varphi(x)=2x$ среднее $\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i$
Не понял. Вы же в предыдущем посте исправили на верное, а теперь снова фигню пишете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как из среднего Колмогорова получить другие средние?
Сообщение07.08.2014, 17:39 


07/08/14
1907
ShMaxG в сообщении #894004 писал(а):
Теперь все ок, только во втором случае $\varphi^{-1}(x) = \ln{x}$.

вродеб так и записал, только подробнее просто

-- 07.08.2014, 17:44 --

Aritaborian в сообщении #894009 писал(а):
upgrade в сообщении #894008 писал(а):
понятно что для $$\varphi(x)=2x среднее$\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i$
Не понял. Вы же в предыдущем посте исправили на верное, а теперь снова фигню пишете.

я когда считать начинаю, у меня среднее арифметическое для $$\varphi(t)=2t ровно в два раза больше чем оно же для $$\varphi(t)=t.
значит формула среднего арифметического для $$\varphi(t)=2t должна содержать множитель $$2
причем он должен появиться понятным образом из формулы Коломогорова...иначе как я проверю корректность формулы среднего показательного

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group