2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 10:15 
Аватара пользователя


07/07/14
151
Проблема следующая: при попытке вникнуть в аксиоматику теории вероятностей столкнулся с некоторыми новыми для себя понятиями: $\sigma$-алгебра,борелевская $\sigma$ алгебра,мера.
Ну,например,такое определение:

Множество $\digamma$, элементами которого являются подмножества \Omega\, называется $\sigma$ - алгеброй, если выполняются следующие условия:

1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

Вроде бы понятно, но с другой стороны хочется какого-нибудь элементарного и интуитивно понятного объяснения, как в математическом анализе в случае с производной или интегралом.
Возможно ли здесь вообще такое? Или же вот таким формальным образом и нужно понимать подобные объекты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 10:39 
Аватара пользователя


15/08/09
1366
МПГУ (математический факультет)
Если Вы немного знакомы с теоретико-множественной топологией, то данное определение вполне естественно.( я имею в виду аналогию определений )

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 10:40 
Аватара пользователя


07/07/14
151
maxmatem в сообщении #893272 писал(а):
Если Вы немного знакомы с теоретико-множественной топологией, то данное определение вполне естественно.


Абсолютно не знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
PeanoJr в сообщении #893266 писал(а):
1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

разве первое не следует из второго и третьего если $\Omega$ непусто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 10:49 
Аватара пользователя


07/07/14
151
alcoholist в сообщении #893274 писал(а):
PeanoJr в сообщении #893266 писал(а):
1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

разве первое не следует из второго и третьего если $\Omega$ непусто?


Следует, и ниже в учебнике это отмечается. Правда, там говорится о непустоте множества $\digamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2461
Физтех
На пальцах.

Дело в том, что построение теории вероятностей происходит на множествах: мы наделяем множества различным приоритетом друг перед другом. Формально -- вводим меру, которая каждому множеству будет сопоставлять число. Оказывается, что мы не можем всегда эффективно определить эту меру для произвольных семейств подмножеств множества $\Omega$, но это можно сделать для специальных семейств подмножеств $\Omega$, которые называются $\sigma$-алгебрами. Таким образом, $\sigma$-алгебра оказывается просто подходящей областью определения вероятностной меры. Чтобы все было формально корректно.

Как понять, почему пункты в определении $\sigma$-алгебры именно такие. Пойдем по порядку. Мы понимаем, что вероятность события, что "хоть что-то произошло" равна единице. Поэтому наличие всего множества $\Omega$ в области определения меры вполне объяснимо. С первым пунктом разобрались. Пусть теперь у нас в $\sigma$-алгебре есть какое-то множество$A$. Оно отвечает за какое-то событие в эксперименте. Но мы же понимаем (интуитивно хотя бы), что если мы знаем вероятность $A$, то мы знаем и вероятность его дополнения, $\bar A$. Так что если $A$ входит в область определения меры, то пусть уж и $\bar A$ входит, а то мы так ничего не вычислим. Ну а последний пункт тоже простой. Вот вы умеете считать вероятности разных событий. Понятно, что хотелось бы и тем самым вычислять вероятность объединения этих событий. Ну а для будущей в теории корректности, там позволено в область определения записать именно счетное, а не конечное, объединение множеств. Оказывается, что всех этих пунктов достаточно, чтобы уже ввести какую-нибудь вероятностную меру и дальше работать.

Вот эта аксиоматика теории вероятностей возникла как обобщение более простых определений вероятности, которые существовали задолго до этого (классическое определение, геометрическое и статистическое). Удивительно, как обладая небольшим набором аксиом удалось объединить не только предыдущие определения и упорядочить имеющийся опыт, но и получить невообразимое число новых результатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
PeanoJr в сообщении #893277 писал(а):
Правда, там говорится о непустоте множества $\digamma$

Разумеется, я опечатался

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 11:42 
Аватара пользователя


07/07/14
151
ShMaxG в сообщении #893281 писал(а):
На пальцах.

Дело в том, что построение теории вероятностей происходит на множествах: мы наделяем множества различным приоритетом друг перед другом. Формально -- вводим меру, которая каждому множеству будет сопоставлять число. Оказывается, что мы не можем всегда эффективно определить эту меру для произвольных семейств подмножеств множества $\Omega$, но это можно сделать для специальных семейств подмножеств $\Omega$, которые называются $\sigma$-алгебрами. Таким образом, $\sigma$-алгебра оказывается просто подходящей областью определения вероятностной меры. Чтобы все было формально корректно.

Как понять, почему пункты в определении $\sigma$-алгебры именно такие. Пойдем по порядку. Мы понимаем, что вероятность события, что "хоть что-то произошло" равна единице. Поэтому наличие всего множества $\Omega$ в области определения меры вполне объяснимо. С первым пунктом разобрались. Пусть теперь у нас в $\sigma$-алгебре есть какое-то множество$A$. Оно отвечает за какое-то событие в эксперименте. Но мы же понимаем (интуитивно хотя бы), что если мы знаем вероятность $A$, то мы знаем и вероятность его дополнения, $\bar A$. Так что если $A$ входит в область определения меры, то пусть уж и $\bar A$ входит, а то мы так ничего не вычислим. Ну а последний пункт тоже простой. Вот вы умеете считать вероятности разных событий. Понятно, что хотелось бы и тем самым вычислять вероятность объединения этих событий. Ну а для будущей в теории корректности, там позволено в область определения записать именно счетное, а не конечное, объединение множеств. Оказывается, что всех этих пунктов достаточно, чтобы уже ввести какую-нибудь вероятностную меру и дальше работать.

Вот эта аксиоматика теории вероятностей возникла как обобщение более простых определений вероятности, которые существовали задолго до этого (классическое определение, геометрическое и статистическое). Удивительно, как обладая небольшим набором аксиом удалось объединить не только предыдущие определения и упорядочить имеющийся опыт, но и получить невообразимое число новых результатов.


Спасибо! Начинаю постепенно вникать в суть... :) У нас в университете, судя по конспектам второкурсников, нам вообще дадут аксиомы ТВ сразу и не будет никаких $\sigma$-алгебр, вероятностных мер. Как и в случае с математическим анализом и линейной алгеброй, все упрощено до безобразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2461
Физтех
Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

Борелевская $\sigma$-алгебра всплывает, когда дается определение случайной величины -- функции, но не простой, а измеримой. Борелевская $\sigma$-алгебра вводится на множестве значений случайной величины. Для дальнейшей работы со случайными величинами от них требуется, чтобы прообразы борелевских множеств были элементами $\sigma$-алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение04.08.2014, 13:24 
Аватара пользователя


07/07/14
151
ShMaxG в сообщении #893296 писал(а):
Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

Борелевская $\sigma$-алгебра всплывает, когда дается определение случайной величины -- функции, но не простой, а измеримой. Борелевская $\sigma$-алгебра вводится на множестве значений случайной величины. Для дальнейшей работы со случайными величинами от них требуется, чтобы прообразы борелевских множеств были элементами $\sigma$-алгебры.


Спасибо! Вы разъяснили все моменты, которые мне были не совсем понятны!

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение21.01.2016, 08:57 


31/10/15
121
ShMaxG в сообщении #893296 писал(а):
Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

извините, но я чуть-чуть не понимаю.
Вы говорите, что это минимальная сигма-алгебра, содержащая все интервалы. То есть если что-то выкинуть, то она перестанет быть борелевской. Значит, если мы можем назвать борелевскую алгебру, то мы можем просто взять что-либо выкинуть, и множество уже не будет борелевским? почему назвать неборелевское множество сложно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение21.01.2016, 09:23 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Если просто что-то выкинуть, первое, что она перестанет делать - быть алгеброй.

Есть много-много сигма-алгебр, содержащих все интервалы. Среди них можно выбрать такую, которая лежит во всех остальных. Вот она и называется минимальной. Но уже она настолько обширна, что назвать множество, которое туда не входит, довольно сложно. По крайней мере, все привычные со школы множества туда точно попадают, то есть являются борелевскими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение03.07.2016, 12:57 
Аватара пользователя


02/03/16
83
Добрый день, господа. Наткнулся на эту тему в связи с вопросом из этой части. Сам же с этой теорией не дружу, слабо понимаю, но время разобраться есть.
Сабж: читаю учебник Боровкова "теория вероятностей", там сказано, что борелевская сигма алгебра строится как пересечение всех сигма алгебр, содержащих интервалы. Тогда же и становится понятно, что все одноточечные множества, множества вида (а,b] и т.д. тоже являются борелевским. Проще говоря, всё, что получается из интервалов путём счётного числа операция объединения, пересечения и взятия дополнений. Но не совсем понимаю, почему все счётные множества являются борелевскими? Возможно, вопрос покажется тривиальным, но не для меня :facepalm: . Подскажите в какую сторону думать, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение03.07.2016, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5769
Atmosfera в сообщении #1135448 писал(а):
Но не совсем понимаю, почему все счётные множества являются борелевскими? Возможно, вопрос покажется тривиальным, но не для меня :facepalm: . Подскажите в какую сторону думать, пожалуйста.
Счетное множество - это объединение счетного числа точек. Точка - это пересечение счетного числа интервалов.

В следующий раз создавайте для своего нового вопроса отдельную тему, в архивном разделе могут и не заметить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиоматика теории вероятностей.
Сообщение03.07.2016, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4886
Xaositect в сообщении #1135456 писал(а):
Точка - это пересечение счетного числа интервалов.
Я бы даже сказал, что одноточечное множество $\{a\}$ - это пересечение двух отрезков $[a - 1, a]$ и $[a, a + 1]$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group