2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 17:57 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
Имеется функция n переменных. Разложение такой функции в ряд Тейлора хорошо известно: первый член - функция в базисной точке, второй - скалярное произведение вектор-градиента на вектор приращений аргумента, третий - квадратичная форма с матрицей Гессе...
Вопрос, как записать остальные члены ряда Тейлора в векторно-матричном виде?
По всей видимости, требуется использование многомерных матриц, в какой литературе это описано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:12 


19/05/10
3761
Россия
Какой еще Гессе?
значение, первый дифференциал, второй дифференциал и т.д.
Посмотрите например в сборнике задач под редакцией Ефимова Поспелова (ранее Ефимова Демидовича)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:21 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
mihailm в сообщении #856381 писал(а):
Какой еще Гессе?
значение, первый дифференциал, второй дифференциал и т.д.
Посмотрите например в сборнике задач под редакцией Ефимова Поспелова (ранее Ефимова Демидовича)

В скалярной форме, это в любом учебнике есть, напрмер:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%FF%E4_ ... 1.8B.D1.85

Матрица Гессе - это матрица вторых частных производных :-)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E5%F1% ... 1.81.D0.B5

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:24 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
В учебниках для математиков (Зорич - начало второго тома, Картан - диф. исчисление, д. формы) теория строится для многомерного простанства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:27 
Заслуженный участник


23/07/08
6331
Харьков
$y(\mathbf x+\mathbf h)=y(\mathbf x)+\frac{\partial y}{\partial x^i}(\mathbf x) h^i+\frac 1 2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^i \partial x^k}(\mathbf x) h^i h^k+\frac 1 6 \frac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}(\mathbf x) h^i h^k h^\ell+...$
... где в каждом слагаемом по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:29 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
svv в сообщении #856393 писал(а):
$y(\mathbf x+\mathbf h)=y(\mathbf x)+\frac{\partial y}{\partial x^i}(\mathbf x) h^i+\frac 1 2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^i \partial x^k}(\mathbf x) h^i h^k+\frac 1 6 \frac{\partial^3 y}{\partial x^i \partial x^k \partial x^\ell}(\mathbf x) h^i h^k h^\ell+...$

Да, это понятно, нужно в векторно-матричной форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:33 
Заслуженный участник


25/02/08
2816
prof.uskov
Так это она и есть. В тензорном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:34 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
Интересно продолжение формулы (2) вот, например, отсюда
http://bigor.bmstu.ru/?cnt/?prn=y/?doc=MO/ch0702.mod

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18532
Уфа
prof.uskov в сообщении #856394 писал(а):
Да, это понятно, нужно в векторно-матричной форме.
То, что вам нужно, выписывается механически из уже данного.$$f(\mathbf x + \Delta\mathbf x) - f(\mathbf x) = \sum_{n=1}^\infty \mathcal D_n(f,\mathbf x) \underbrace{\Delta\mathbf x\cdots\Delta\mathbf x}_{n\text{ штук}},$$где $\mathcal D_n(f,\mathbf x)$ — матрица с элементами $\dfrac1{n!}\dfrac{\partial^nf(\mathbf x)}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_n}}$ — ваши обобщённые матрицы, которые надо себе представлять в виде строки, состоящей из строк$\big($, состоящих из строк$\big)^{n-2}$ — для правильного умножения на столбцы $\Delta\mathbf x$. Обычно в таких случаях используют индексную нотацию, которая и к реализации вычислений по таким формулам ближе, и для человека тоже выглядит понятнее, ведь ему эволюция пока не позволила представлять гиперкубические матрицы с такой же лёгкостью как функции из $(1..k)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:40 


19/05/10
3761
Россия
А понял, нужно обязательно в матричной форме (извините, заголовок не прочитал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:51 
Заслуженный участник


23/07/08
6331
Харьков
prof.uskov
Давайте ещё немного поторгуемся. Посмотрите на правую часть формулы (2). Слагаемые буду нумеровать с нуля.
Нулевое слагаемое: скаляр, образованный из нулевых производных $\Phi$ в точке $X^r$ (т.е. сама $\Phi(X^r)$), умножается ноль раз на вектор $X-X^r$.
Первое слагаемое: вектор, образованный из первых производных $\Phi$ в точке $X^r$, умножается один раз на вектор $X-X^r$.
Второе слагаемое: матрица, образованная из вторых производных $\Phi$ в точке $X^r$, умножается два раза на вектор $X-X^r$.
Как Вы себе представляете в этом ключе третье слагаемое? Как Вы думаете, почему автор не записал его явно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18532
Уфа
svv в сообщении #856407 писал(а):
Второе слагаемое: матрица, образованная из вторых производных $\Phi$ в точке $X^r$, умножается два раза на вектор $X-X^r$.
…и при этом ему уже здесь приходится начинать играть в «Транспонирование и разностороннесть умножения»!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 20:28 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
svv в сообщении #856407 писал(а):
prof.uskov
Как Вы себе представляете в этом ключе третье слагаемое? Как Вы думаете, почему автор не записал его явно?

Не написал потому, что не захотел вводить в рассмотрение многомерные матрицы. После квадратичной формы должно идти слагаемое с кубической формой, матрица будет 3-х мерной. Вот в этой книжке рассматриваются операции над многомерными матрицами, в том числе операция умножения, но автор ряд Тейлора не рассматривает.
Соколов Н.П. "Введение в теорию многомерных матриц"
http://www.twirpx.com/file/1100866/
Так что если повозиться, можно и самому расписать, НО
я смутно помню, что в каком-то справочнике видел третье слагаемое ряда, расписанное с помощью трехмерной матрицы, но найти не могу... Вот и спрашиваю, может, кто встречал.

-- 28.04.2014, 21:33 --

svv в сообщении #856407 писал(а):
prof.uskov
Давайте ещё немного поторгуемся. Посмотрите на правую часть формулы (2). Слагаемые буду нумеровать с нуля.
Нулевое слагаемое: скаляр, образованный из нулевых производных $\Phi$ в точке $X^r$ (т.е. сама $\Phi(X^r)$), умножается ноль раз на вектор $X-X^r$.
Первое слагаемое: вектор, образованный из первых производных $\Phi$ в точке $X^r$, умножается один раз на вектор $X-X^r$.
Второе слагаемое: матрица, образованная из вторых производных $\Phi$ в точке $X^r$, умножается два раза на вектор $X-X^r$.


Вот здесь понятней про 2-е слагаемое.
http://mathserfer.com/theory/kiselev2/node74.html
Второе слагаемое - это квадратичная форма с матрицей Гессе.
Ее знакоопределенность любят изучать при исследовании точек экстремума. Критерий Сильвестра помните :-)


-- 28.04.2014, 21:52 --

arseniiv в сообщении #856401 писал(а):
prof.uskov в сообщении #856394 писал(а):
Да, это понятно, нужно в векторно-матричной форме.
То, что вам нужно, выписывается механически из уже данного.$$f(\mathbf x + \Delta\mathbf x) - f(\mathbf x) = \sum_{n=1}^\infty \mathcal D_n(f,\mathbf x) \underbrace{\Delta\mathbf x\cdots\Delta\mathbf x}_{n\text{ штук}},$$где $\mathcal D_n(f,\mathbf x)$ — матрица с элементами $\dfrac1{n!}\dfrac{\partial^nf(\mathbf x)}{\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_n}}$ — ваши обобщённые матрицы, которые надо себе представлять в виде строки, состоящей из строк$\big($, состоящих из строк$\big)^{n-2}$ — для правильного умножения на столбцы $\Delta\mathbf x$. Обычно в таких случаях используют индексную нотацию, которая и к реализации вычислений по таким формулам ближе, и для человека тоже выглядит понятнее, ведь ему эволюция пока не позволила представлять гиперкубические матрицы с такой же лёгкостью как функции из $(1..k)^n$.

При записи многомерных матриц используются сечения - представление в виде совокупности обычных матриц, тоже достаточно наглядно, см. например книжку Соколова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 22:46 
Заслуженный участник


23/07/08
6331
Харьков
Скачал книгу Соколова.
В первой главе только вводный параграф 1 общий, остальные посвящены детерминантам (не наша тема). Вторая глава целиком посвящена детерминантам — тоже пропускаем. Открываем начало третьей главы:

Цитата:
Рассматривая основные операции над многомерными матрицами ... будем определять их в зависимости от операций над ассоциированными с этими матрицами полилинейными формами, заданными над некоторым числовым полем $P$.
...
$F=\sum\limits^n_{i_1 i_2...i_p=1}A_{i_1 i_2...i_p}x_{i_1}^{(1)}x_{i_2}^{(2)}...x_{i_p}^{(p)}$
Где-то я это уже видел. Ведь
Цитата:
Полилинейной функцией, или тензором на $V$ типа $(p,q)$ называется линейная по каждому своему аргументу действительная функция ... от $q$ векторных и $p$ ковекторных аргументов.
(Алексеевский, Виноградов. Основные понятия и идеи дифференциальной геометрии.) Здесь дано чуть более общее определение. Набор $A_{i_1 i_2...i_p}$ — не что иное как набор компонент тензора. Сама функция, о которой идет речь, записывается в компонентах точно такой формулой.

И чем хрен слаще редьки? Меня сразу насторожило то, насколько старательно Соколов избегает понятия «тензор»!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение28.04.2014, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18532
Уфа
prof.uskov в сообщении #856418 писал(а):
При записи многомерных матриц используются сечения - представление в виде совокупности обычных матриц, тоже достаточно наглядно
Имеется в виду такое: $A = \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 \end{bmatrix}$? Так оно плохо к произвольной размерности применяется. Явное использование индексов гораздо нагляднее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 180 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group