2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12813
Москва
Panfilov в сообщении #1083193 писал(а):
а так:

$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2a-\sin^2b$

А это не "малоизвестный и красивый факт", а просто упражнение по тригонометрии для школяров. Вы перепутали темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 19:30 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
Brukvalub в сообщении #1083232 писал(а):
Panfilov в сообщении #1083193 писал(а):
а так:

$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2a-\sin^2b$

А это не "малоизвестный и красивый факт", а просто упражнение по тригонометрии для школяров. Вы перепутали темы.
По-моему, вы несправедливы. Мне этот факт не был известен, по крайней мере, я не помню, чтобы встречал такое.
Тем не менее, то, что оно легко выводится, не отменяет того, что само тождество - неожиданное, особенно если его записать так:
$\sin(a-b)\sin(a+b) = (\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Это выполняется и для гиперболического синуса. В итоге решениями $f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$ как минимум являются $\mathrm{id},\sin,\sh$ и решения, умноженные на константу с аргументом, умноженным на константу. Общий вид чего-то не находится. Кстати, может, тему про это уравнение создать? Есть аналогичное «чётное».

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12813
Москва
venco в сообщении #1083324 писал(а):
Тем не менее, то, что оно легко выводится, не отменяет того, что само тождество - неожиданное

Тогда давайте не мелочиться и выпишем сюда все упражнения на тождественные преобразования по тригонометрии из, скажем, Сканави, мне они все кажутся сказочными и удивительными. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:03 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
Зачем все? Я только про это сказал. Если вы не поняли, чем оно примечательно, то это как раз тем, что синус тоже оказался решением вышеприведённого функционального уравнения, в дополнение к очевидному $f(x)=x$.
Мне этот факт показался интересным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:13 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5157
g______d в сообщении #840771 писал(а):
$$
\int\limits_0^1 x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-n}
$$

Недавно только узнал, что это тождество называется "мечтой второкурсника" :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:32 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
arseniiv в сообщении #1083330 писал(а):
Это выполняется и для гиперболического синуса. В итоге решениями $f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$ как минимум являются $\mathrm{id},\sin,\sh$ и решения, умноженные на константу с аргументом, умноженным на константу. Общий вид чего-то не находится. Кстати, может, тему про это уравнение создать? Есть аналогичное «чётное».
Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$
При разных параметрах $a$ и $c$ получаются как раз $\mathrm{id},\sin,\sh$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5157
venco в сообщении #1083355 писал(а):
Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$

Это сворачивается до $\frac{c}{\sqrt{a}} \sinh(\sqrt{a}\cdot x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
venco
О. Кажется, я к чему-то подобному почти подошёл. Хотя, наверно, не с той стороны, потому что не очень прозрачно пока. Поместил ваш ответ в тему (всё-таки создал её) в спойлере.

-- Пт дек 18, 2015 23:48:09 --

Выглядит как мультисекция (здесь би-) ряда, но почему она появляется…

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 21:48 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
maxal в сообщении #1083359 писал(а):
venco в сообщении #1083355 писал(а):
Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$

Это сворачивается до $\frac{c}{\sqrt{a}} \sinh(\sqrt{a}\cdot x)$.
Не совсем. $\mathrm{id}$ должно получиться при $a=0$, а в вашей формуле с этим проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Надо просто ввести shc по аналогии с sinc как доопределённый по непрерывности $\sh z/z$, получится и компактнее: $cx\operatorname{shc}(x\sqrt{a})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение19.12.2015, 07:55 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
arseniiv в сообщении #1083362 писал(а):
Надо просто ввести shc по аналогии с sinc как доопределённый по непрерывности $\sh z/z$, получится и компактнее: $cx\operatorname{shc}(x\sqrt{a})$.
Таким образом синус мнимым получится. А если перейти к комплексным параметрам (а что нам мешает?) то и корень не нужен. И вместо shc можно использовать с тем же успехом стандартный sinc:
$$cx\operatorname{sinc}(ax)$$
Я думаю, на этом можно закончить. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение19.12.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Ага. (Только я так и не понял, как вывести ряд из первых принципов, прямо из уравнения. :?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение19.12.2015, 17:24 
Заслуженный участник


04/05/09
4388
Если честно, я его почти угадал. Взял первые несколько членов Тейлора и нашёл между ними соотношение. Синус получился однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.12.2015, 10:14 


13/10/14
20
$\cos(a-b)\cos(a+b)+1=\cos^2a+\cos^2b$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group