2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение09.10.2013, 18:57 
Аватара пользователя


21/09/13
57
Здравствуйте. Хочу какую-нибудь подсказку по следующей задаче:

Представьте корень из простого числа $p$ как комбинацию корней из единицы степени $p$, мнимой единицы и арифметических операций.

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение09.10.2013, 19:02 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Подсказка: $p = 1 \cdot p$
UPD: Прошу прощения, неправильно понял задачу и сморозил глупость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение09.10.2013, 19:05 
Заморожен


20/12/10
5623
Гуглите "суммы Гаусса".

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение09.10.2013, 19:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8391
Посмотрите квадратичные суммы Гаусса в литературе.
$g=\sum\limits_{k=0}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\zeta^k$
$g^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение16.10.2013, 22:16 


16/10/13
1
Матфак, так нельзя.

-- 16.10.2013, 22:16 --

Матфак, так нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение17.10.2013, 10:47 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8943
 !  Vapmat, замечание за бессодержательное сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 00:28 


14/11/14
22
Уважаемые профессионалы!
А не подскажете, есть ли какая-нибудь еще сумма $p$ корней $p$-ой степени из единицы,
по модулю равная $\sqrt p$, кроме суммы Гаусса (с точностью до $ai^2+bi+c$). $p$ -- простое.
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 09:01 
Заморожен


20/12/10
5623
userded в сообщении #930662 писал(а):
А не подскажете, есть ли какая-нибудь еще сумма $p$ корней $p$-ой степени из единицы,
по модулю равная $\sqrt p$, кроме суммы Гаусса
Если допускать только рациональные коэффициенты (как в сумме Гаусса), то фактически нет. Единственная возможная модификация суммы Гаусса --- это добавление к каждому её коэффициенту одного и того же рационального числа. Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 18:23 


14/11/14
22
Цитата:
Если допускать только рациональные коэффициенты (как в сумме Гаусса), то фактически нет. Единственная возможная модификация суммы Гаусса --- это добавление к каждому её коэффициенту одного и того же рационального числа. Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.

Про добавление одного и того же целого рационального -- понятно. А почему других-то нет? Можно ли про это где-нибудь прочитать? Прошу прощения, я еще раз подчеркну: интересны суммы по модулю равные корню из p

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 18:38 
Заморожен


20/12/10
5623
userded в сообщении #930950 писал(а):
А почему других-то нет?
Я же написал:
nnosipov в сообщении #930753 писал(а):
Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.
Разумеется, если Вы разрешите коэффициентам при $\zeta^k$ ($k=0,1,\dots,p-1$) в сумме быть какими попало (не рациональными), то таких сумм можно напридумывать сколько угодно, и задача описания этих сумм теряет смысл. Либо Вы заранее оговариваете природу коэффициентов, и тогда это подлежит обсуждению.

-- Пт ноя 14, 2014 22:42:23 --

userded в сообщении #930950 писал(а):
Можно ли про это где-нибудь прочитать?
В конечном итоге это сводится к неприводимости многочлена $x^{p-1}+\dots+x+1$ над полем $\mathbb{Q}$, а она следует из критерия Эйзенштейна (есть практически в любом учебнике по алгебре; можно также погуглить).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 18:43 


14/11/14
22
Прошу прощения, я еще раз подчеркну: интересны суммы по модулю равные корню из p

-- 14.11.2014, 19:46 --

А про то, какой базис у расширения поля рациональных чисел корнем из единицы простой степени, я в курсе :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 18:49 
Заморожен


20/12/10
5623
userded в сообщении #930950 писал(а):
интересны суммы по модулю равные корню из p
Это немного сложнее: нужно сумму Гаусса (возможно, модифицированную описанным выше способом) домножить на какой-нибудь $\pm \zeta^k$. То, что других вариантов нет, следует из такого утверждения: все числа из поля $\mathbb{Q}(\zeta)$, по модулю равные единице, суть $\pm \zeta^k$. Это есть, например, в книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма". Доказательство несложное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 19:27 


14/11/14
22
nnosipov в сообщении #930957 писал(а):
userded в сообщении #930950 писал(а):
интересны суммы по модулю равные корню из p
Это немного сложнее: нужно сумму Гаусса (возможно, модифицированную описанным выше способом) домножить на какой-нибудь $\pm \zeta^k$. То, что других вариантов нет, следует из такого утверждения: все числа из поля $\mathbb{Q}(\zeta)$, по модулю равные единице, суть $\pm \zeta^k$. Это есть, например, в книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма". Доказательство несложное.

Боюсь, Вы немного ошибаетесь: там числа не из $\mathbb{Q}(\zeta)$, а из $\mathbb{Q}[\zeta]$, что совсем не одно и то же. И я не понял, в указанной Вами книге доказано, что нет других сумм с модулем $\sqrt p$, или доказана обсужденная нами теорема Кронекера? Пока не могу найти :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 20:12 
Заморожен


20/12/10
5623
userded в сообщении #930966 писал(а):
там числа не из $\mathbb{Q}(\zeta)$, а из $\mathbb{Q}[\zeta]$, что совсем не одно и то же.
Это одно и то же: $\mathbb{Q}(\zeta)=\mathbb{Q}[\zeta]$. Это верно, потому что $\zeta$ есть алгебраическое число.

-- Сб ноя 15, 2014 00:30:55 --

userded в сообщении #930966 писал(а):
Боюсь, Вы немного ошибаетесь:
Да, действительно, то утверждение справедливо только для $\mathbb{Z}[\zeta]$ (а не для $\mathbb{Q}(\zeta)$). Таким образом, Ваш вопрос сводится к выяснению того, какие числа поля $\mathbb{Q}(\zeta)$ по модулю равны единице. Не знаю. Уже при $p=3$ ответ нетривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень из простого числа как комбинация корней из единицы
Сообщение14.11.2014, 20:33 


14/11/14
22
Простите, описка случилась. Имел в виду $\mathbb{Z}[\zeta]$. То есть, я знаю утверждение такого вида: "Любое алгебраическое целое из $\mathbb{Q}(\zeta)$, имеющее модуль 1, является корнем из единицы". Или это верно для любого числа из $\mathbb{Q}(\zeta)$? То есть, любые 2 числа с одинаковым модулем отличаются множителем, равным корню из единицы? Что-то не верится. Буду признателен, если Вы дадите ссылку на утверждение. Прошу прощения за назойливость

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group